LGS - Gaußverfahren: Wie stelle ich richtig um ?

Question

Aufgabe:

              x + y + z =1

              x + ay +z =1

             -x       +az = 0

Problem/Ansatz:

 

Ich habe eigentlich keine Probleme, wenn es um LGS geht, aber diese Aufgabe verwirrt mich irgendwie total. :/

Die Frage zur Aufgabe lautet:

Für welches a hat das folgende lineare Gleichungsystem

      ( siehe Aufgabe)

(a) unendlich viele Lösungen 

(b) keine Lösung

Kann mir jemand bitte helfen ?

Danke für die Mühe!

Answer 1

  x + y + z =1     
  x + ay +z =1     2. Zeile  minus erste
  -x       +az = 0    3. Zeile + erste

gibt

  x    + y                + z =1

      (a-1)y                 = 0

       y          +(a+1) z = 1

Für a=1 hat die 2. Gleichung  unendlich viele Lösungen

etwa y = t dann ergeben die 1. und die 3.

  x    +   t              + z =1

            t         +   2 z = 1  ==>   z =   (1-t) / 2

und mit der ersten

x = - t -   (1-t) / 2  + 1

Für a≠1  hast du   y=0 also bleibt

x      +0            + z =1  
         0   +(a+1) z = 1

Nun hat die 2. für a=-1  keine Lösung aber

ansonsten    z = 1 / (a+1)

und damit dann x = 1 -   1 / (a+1)

Also:  Für a=1  unendlich viele

          F+ür a= -1 keine und ansonsten

            genau eine.

Answer 2

(1) x + y + z =1
(2) x + ay +z =1

(2)-(1) (a-1)·y=0, d.h. a=1 oder y=0

in beiden Fällen sind (1) und (2) identisch und es gibt unendlich viele Lösungen.

Wenn a≠1 und y≠0 sind (1) und (2) widersprüchlich und das System ist unlösbar.