a) \( \mathbb{Z}_{5} \) ist mit der Addition und Multiplikation modulo 5 ein Körper; alle Elemente auBer der \( 0(\text { also } 1,2,3,4) \) haben ein Inverses, d. h. durch alle Elemente \( \not 0 \) kann man dividieren. Und somit kann man den Gauß-Algorithmus und Rückwärtseinsetzen für das folgende LGS über dem Körper \( \mathbb{Z}_{5} \) durchführen:\[\left(\begin{array}{lll|l}{2} & {1} & {1} & {1} \\{4} & {1} & {2} & {0} \\{3} & {1} & {3} & {0}\end{array}\right)\](Achten Sie darauf, dass in der Rechnung nur die Elemente \( 0,1,2,3,4 \) vorkommen.)
b) Lösen Sie das Gleichungsstem über dem Körper \( \mathbb{Z}_{2} \) :\[\left(\begin{array}{llll|l}{1} & {1} & {0} & {1} & {0} \\{1} & {0} & {0} & {1} & {1} \\{0} & {1} & {1} & {1} & {0} \\{0} & {1} & {0} & {1} & {0}\end{array}\right)\]c) Lösen Sie das Gleichungssystem über \( \mathbb{C} \):\[\left(\begin{array}{ccc|c}{1+i} & {0} & {-2} & {0} \\{0} & {1} & {1} & {i} \\{1-i} & {2} & {i} & {1}\end{array}\right)\]Anmerkungen: Erläutern Sie bei jedem Gauß-Schritt, was Sie da tun - damit es nachvollziehbar ist. Am besten, sie halten sich bei dieser Aufgabe stur an den Gauß-Algorithmus im eigentlichen sinne. Wenn Sie wissen wollen, ob Ihr Ergebnis stimmt, machen Sie die Probe.
