Wann handelt es sich laut der dritten Ableitung doch nicht um einen Wendepunkt?

Question

Die Frage könnte auch lauten wozu die dritte Ableitung da ist.

Kommt bei einer zweiten Ableitung an einer Stelle X etwas negatives heraus, so handelt es sich um eine Rechtskrümmung, kommt etwas positives dann ist es eine Linkskrümmung. Wenn null herauskommt "kann" es sich um einen Wendepunkt handeln. Man soll dies aber erst einmal überprüfen. Wie macht man das mit der dritten Ableitung, also was muss für die Funktion herauskommen und wie sieht die Funktion aus wenn dies doch nicht der Fall von einem Wendepunkt ist?

Answer 1

Falls die Funktion, wie die Schulfunktionen meistens, im Innern des zu betrachtenden Intervalls unendlich oft differenzierbar ist, dann muss an einer Wendestelle f'' = 0 sein. Es gibt keine Wendestelle mit f'' ≠ 0. Man sagt f''=0 ist notwendig (zwingend erforderlich).

Nehmen wir mal an f''(5) = 0.Das heißt nicht, dass 5 Wendestelle ist. Es heißt nur, dass 5 ein Kandidat für eine Wendestelle ist. Mit f''= 0 findet man also nur die Kandidatenliste der Wendstellen, nicht schon die Wendestellen.

Wenn f'''(5) ≠ 0, dann ist bewiesen, dass 5 Wendestelle ist. Man sagt f'''≠ 0 ist hinreichend (ausreichend).

Jetzt wirds lustig: Was ist, wenn f'''(5) = 0. Dann folgt daraus nichts, weder dass 5 Wendestelle ist, noch dass 5 keine ist.

(Dann muss man irgendwas erfinden, um nachzuweisen, dass eine Wendestelle vorliegt oder nicht. Dafür gibt es kein Schema. Das gleiche gilt auch für das VZW-Kriterium, obwohl in der Schule nie Funktionen vorkommen, bei denen das VZW-Kriterium unentschieden ausgeht.)

gesuchtes Beispiel y=x⁴ (sieht so ähnlich aus wie eine Parabel, hat keinen Wendepunkt, aber f''(0) und f'''(0) =0)

Comments

Sehr schön erklärt. Nur passt das Beispiel nicht. Du meinst y = x^4?

Man kann übrigens über die dritte Ableitung hinausgehen und warten bis die Ableitung das erste Mal ungleich 0 wird usw ;).

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Wenn also die dritte Ableitung ungleich Null ist liegt eine Wendestelle vor

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Wenn, dann ja!

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Danke Unknown, habs verbessert.