Variablen a,b,c und d bestimmen anhand der Nullstellen bei f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

Question

Aufgabe:

Die Funktion ist: f(x)=ax³+bx²+cx+d

Gegeben: Nullstellen: 0,-4,4/5

Problem/Ansatz:

Ich soll jetzt mithilfe der Nullstellen diese Variablen a,b,c,d bestimmen. Wie geht das genau nochmal? Bitte mit genauem Rechnungsweg.

Comments

Du hast nur drei Nullstellen aber vier Unbekannte. Das wird also eher nichts. Hast Du uns noch eine Nullstelle? Oder meinst Du 0,-4,4,5?

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Ne die Aufgabe gibt drei Nullstellen an um halt die vier Koeffizienten, die jeweils ganze Zahlen sind, auszurechnen

Answer 1

0,-4,4/5

besser
0,-4,4,5
f ( x ) = x * ( x + 4 ) * ( x - 4 ) * ( x - 5 )

Comments

Eine Funktion dritten Grades mit vier Nullstellen?

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Ne die Aufgabe gibt drei Nullstellen an um halt die vier Koeffizienten, die jeweils ganze Zahlen sind, auszurechnen

Bei Bedarf nachfragen.

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Aber wie rechne ich jetzt die Koeffizienten per Hand aus, weil was bei dir in der Lösungsmenge steht, sind ja die Nullstellen oder?

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Nullstellen zunächst
f ( x ) = x * ( x + 4 ) * ( x - 4/5 )
Die Multiplikation der Nullstellen ergibt
f = x^3 + 16 / 5 * x^2 - 16 / 5 * x
damit die Koeffizienten ganzzahlig werden wird
mit 5 malgenommen
f = 5 * x^3 + 5 * 16 * / 5 * x^2 - 5 * 16 / 5 * x
f = 5 * x^3 + 16  * x^2 - 16  * x
Dies ist die Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten
Die Funktion lautet auch
f ( x ) = 5 * x * ( x + 4 ) * ( x - 4/5 )

Answer 2

Die Funktion ist: f(x)=ax3+bx2+cx+d

Gegeben: Nullstellen: 0,-4,4/5

Ansatz: f(x) = ax(x+4)(x-0.8)

Das hier einfach ausmultiplizieren und dann die Koeffizienten (in Abhängigkeit von a angeben). a ist eine beliebige reelle Zahl ungleich Null.

Comments

Beliebig ist a nicht. Laut ergänzendem Kommentar sollen die Koeffizienten ganzzahlig sein.

Answer 3

$$f(x)=a·x·(x+4)·(x-0,8)=a·x·(x^2+4x-0,8x-3,2)$$

$$f(x)=a·x·(x^2+3,2x-3,2)$$

Beim Ausmultiplizieren kommt a·3,2 vor. Damit dieser Wert ganzzahlig wird, muss z.B. a=5 gelten. 10, 15, 20, usw. wären auch möglich. Ich wähle a=5.

$$f(x)=a·x·(x^2+3,2x-3,2)=5·x·(x^2+3,2x-3,2)=5x^3+16x^2-16x$$

$$ a=5;\quad b=c=16;\quad d=0 $$

https://www.desmos.com/calculator/jnrfcbdv4q