lineare unabhängigkeit, Basis

Question

Aufgabe:

Seien folgende Vektoren des R3 gegeben:

u1 = (1, 1, 0)  ,  u2 = (1, -1, 1) ,  u3 = (1, 0, -1) 

 i) Sind u1, u2, u3 linear unabhängig?
ii) Finden Sie eine Basis von U := span{u1, u2, u3}.
iii) Bestimmen Sie eine Basis von U1 ∩ U23 und von U1 + U23, wobei
U1 := span{u1}, U23 := span{u2, u3}.

Problem/Ansatz:

Hilfe bitte!

Answer 1

Schreibe die 3 Vektoren als Spalten in eine Matrix und

bringe diese auf Stufenform. Das gibt

1   1    1
0   1    0,5
0   0     0

==>  rang=2 , also Vektoren lin. abhängig.

und: wenn du das als homogenes Gleichungssystem

betrachtest ist z.B.  (1,1,-2) eine Lösung,

also gilt u1 + u2 -2u3 = 0

=>   u3 = 0,5u1 + 0,5u2 , also

kann man den aus span{u1, u2, u3} weglassen und

mit u1 und u2 eine Basis.

Comments

Wie hast du die Matrix auf Stufenform gemacht ?

Bei mir kommt was anderes

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Was hast du denn raus ?

 Hauptsache ist doch Rang=2

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Die untere Zeile ist falsch. Bei mir kommt [0,0,3] als dritte Zeile heraus.

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Hast recht, hab meinen Fehler gefunden.

Answer 2

det(u1,u2,u3)=

1	1	1
1	-1	0
0	1	-1

=1+0+1-0-0-(-1)=3≠0 (Selbst gerechnet)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=determinant+of+%7B%7B1%2C1%2C0%7D%2C%7B1%2C-1%2C1%7D%2C%7B1%2C0%2C-1%7D%7D++ (von WolframAlpha bestätigt :-) )

Also sind die Vektoren linear unabhängig.