Es liegen zwei Mengen vor. Beweise A ⊆ B ⇒ ¬B ⊆ ¬A

Question

Aufgabe:

A ⊆ B ⇒ ¬B ⊆ ¬A

Problem/Ansatz:

Ich hätte es mit Kontraposition probiert. Also ¬(¬B ⊆ ¬A) ⇒ ¬( A ⊆ B)
Bin mir aber nicht sicher ob der Ansatz richtig ist bzw. tu ich mir schwer etwas brauchbares rauszufiltern. Kann ich hier zB. den de Morgan anweden? Danke für Hilfestellungen.

Comments

¬A ist das Komplement von A ???

Wenn ja, bezogen auf welche Obermenge ?

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Ja ¬A ist das Komplement von A. Kann man durchaus so verwenden glaube ich und B ist die Obermenge von A. Ich kann die Implikation mit einen Venn Diagramm nachvollziehen. Es geht darum es formal zu beweisen.

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Kann man durchaus so verwenden glaube ich

Da sich die Operationen ∩, ∪ und Komplement in der Mengenlehre genauso verhalten wie die Operationen ∧, ∨ und ¬ in der Aussagenlogik, liegt es nahe, was bei einer Menge A mit ¬A gemeint ist. Übliche Notation ist es trotzdem nicht. Verwende lieber \(\overline{A}\) oder A^∁.

Answer 1

Sei A ⊆ B.

Sei x ∈ ¬B.

Dann ist x ∉ B. Wegen A ⊆ B ist dann auch x ∉ A. Also ist x ∈ ¬A.

Comments

Danke für den Input aber ich bin mir nicht sicher ob das als Beweis gilt. Wenn x ∉ A kann es dann nicht sein, dass x ∉ ¬A ist? Kann man wirklich einfach darauf rückschließen?

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¬A enthält laut Definition alle Elemente der Grundmenge, die nicht  in A sind.

Jedes Element der Grundmenge ist also entweder in A oder in ¬A.