Potenzfunktion linearisieren

Question

wie komme ich von der Potenzfunktion

f(x) = 3520031*x^{-0,84}

 auf die linearisierte Funktion

 f_lin(x) = -0,74x+14,92?

Answer 1

Der Bearbeitungsweg ist so ungefähr

1.Grafik
Einwohnerzahl = ...
y = 3520031*x^(-0,84)  dies ist die Rote Kurve
x = Rang in der Tabelle
y = Enwohnerzahl
Dies sind die markierten Punkte in der Grafik
Berlin ( Rang = 1 | 3520031 )
2.Stadt ( Rang = 2  | 1787408 )

für ln ergibt sich
Linearisierung
auf beiden Seiten den ln anwenden

y = 3520031*x^(-0,84)
ln ( y ) = ln (3520031*x^(-0,84) )
ln ( y ) = ln (3520031) + ln (x^(-0,84) )
ln ( y ) = 15.07 + (-0.84 )* ln (x )
ln ( y ) = 15.07 -0.84 * ln (x )
Das kommt deiner Lösung schon recht nah.
Damit kannst du die 2.rote Kurve einzeichen
y - Achse y-Werte als ln
x -Achse : ln des Rangs
Dies sind die markierten Punkte in der Grafik
Berlin ( Rang = 1 | 3520031 )
wird zu
Berlin ( Rang = 0 | 15.07 )

2.Stadt ( Rang 2  | 1787408 )
wird zu
2.Stadt ( Rang 0.69  | 14.40 )

Ich hoffe es hilft dir schon einmal weiter.
Du könntest einmal googeln

Ich bin gern weiter behilflich.

Comments

Ich habe es verstanden! :-) vielen Dank georgborn

Also muss ich nur noch im Nachhinein den neuen "ln-Werten" eine lineare Fktn mit Hilfe von GeoGebra anpassen und diese dann auf das Bestimmtsheitsmaß überprüfen. Liegt das Ergebnis nahe bei 1, ist die lineare Fktn gut.

Ich hatte mich nämlich gefragt, ob man die lineare Fktn nicht direkt aufstellen kann, ohne die ganzen einzelnen neuen Werte durch das Logarithmieren zu bestimmen.

Hast mir super geholfen! Vielen Dank auch an mathe_was_sonst und Lu :-)

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Beim linearisiern hast du in diesem Fall
2 Möglichenkeiten. Eine bekannte Funktion
in einem Rutsch zu linearisieren.
Oder einzeln Werte / Wertetabelle mit ln oder log
umzuwandeln, dann die Werte in ein Koordinatensystem
einzuzeichnen und dann ein Regressionsgerade
einzuzeichen oder zu berechnen.

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Genau, und bei der 1. Möglichkeit ist es aber so, dass die Funktion sich der Funktion h(x) (siehe unten) annähert, aber nicht die exakt gleiche Funktion abbildet, wie GeoGebra sie modelliert. Die Ergebnisse von Möglichkeit 1 und 2 würden sich also minimal unterscheiden.

Answer 2

~plot~ 3520031*x^(-0,84); -0,74x+14,92;[[-100|500|-100|50000]] ~plot~

Du müsstest schon noch angeben, an welcher Stelle die Funktion denn linearisiert werden soll.

Ausserdem: Kommafehler in der Frage?

Und: Erkläre noch, warum f(x) = 3520031*x^{-0,84} die Gleichung einer Potenzfunktion ist.

Answer 3

Wenn mit linearisieren gemeint ist, dass die Funktion an einer bestimmten Stelle durch eine Gerade angenähert werden soll, ergibt die Fragestellung keinen Sinn. Die Gerade müsste die Kurve berühren, was aber nicht der Fall ist.

https://www.desmos.com/calculator/nqzxmgl3lm

Comments

Es geht bei der Aufgabe um das Bestimmtsheitsmaß. Wir sollen die Potenzfunktion linearisieren, um herauszufinden, ob bei der Fktn ein hoher oder niedriger linearer Zusammenhang vorliegt.

Wir haben hierfür folgende "Anleitung" bekommen:

Wir sollen die angepasste Potenzfunktion an die folgende Datenreihe linearisieren:

Die Linearisierung ergibt:

Ich verstehe nun nicht, wie die Linearisierung stattgefunden hat.

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Aha, das sieht ja ganz anders aus als in deiner Fragestellung. Es geht also um Logarithmieren.

Etwas verwirrend finde ich, dass im ersten Kasten der 10er-Logarithmus und im dritten Kasten "log rang" steht, obwohl der natürliche Logarithmus verwendet wird, was mit ln abgekürzt wird.

Falsch ist in de Anleitung das β, das zuerst als Teil einer Funktion dasteht und danach zum Faktor wird.

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Ja, das fand ich auch am Anfang verwirrend mit dem log und ln.

Beta sollte doch richtig sein? Warum siehst du es als falsch an?

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b·log₁₀x ≠ b·log₁₀ ·x

b·log₁₀ ist kein Faktor, genauso wie sin und cos keine Faktoren, sondern Funktionen sind.

Von wem stammt denn die "Anleitung"?

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Oh ja, stimmt! Sehr aufmerksam von dir.

Die Anleitung stammt von der Lehrperson an der Uni :p

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Ohauahauaha! Solche Schnitzer sollten sich Lehrende eigentlich nicht erlauben. Gib der Person doch dezent einen Hinweis.   :-)

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:D mache ich