Potenzfunktion, ich weiß nicht weiter

Question

Hallo, ich bin gerade frisch in die 11. Klasse gekommen und brauche Hilfe in meinen Mathehausaufgaben. Ich erwarte keine Lösungen, sondern Erklärungen bitte. Eventuell ein Beispiel mit anderen Zahlen wäre hilfreich. Vielen Dank!

Text erkannt:

Mathematik EF
Potenz funktionen
Demi

Definition:
Eine Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{n} \) und \( n \in \mathbb{Z}, n \neq 0 \), heißt Potenzfunktion.

Die Eigenschaften von Potenzfunktionen und ihren Graphen hängen davon \( a b, o b \) der Exponent positiv oder negativ und gerade oder ungerade ist.

Arbeitsauftrag:
Untersuche die verschiedenen Eigenschaften von Potenzfunktionen mithilfe der vier Geogebra-Dateien, indem du verschiedene Pontenz funktionen mit dem Schieberegler generierst, und fülle die Tabelle vollständig aus.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & \multicolumn{2}{|c|}{ positive Exponenten } & \multicolumn{2}{c|}{ negative Exponenten } \\
\cline { 2 - 5 } & gerade & ungerade & gerade & ungerade \\
\hline \begin{tabular}{c}
Definitionsbereich \\
(x-Werte)
\end{tabular} & & & & \\
\hline \begin{tabular}{c}
Wertebereich \\
(y-Werte)
\end{tabular} & & & & \\
\hline \begin{tabular}{c}
Gemeinsame \\
Punkte
\end{tabular} & & & & \\
\hline \begin{tabular}{c}
Verhalten der \\
Graphen für \\
\( x \rightarrow+\infty \) \\
\( x \rightarrow-\infty \)
\end{tabular} & & & & \\
\hline \begin{tabular}{c}
Symmetrie der \\
Graphen
\end{tabular} & & & & \\
\hline
\end{tabular}

Glossar:
- Definitionsbereich: Werte, die für \( \times \) eingesetz† werden können
- Wertebereich: Werte, die die Funktion annimmt
- Verhalten der Graphen: Die Richtung, in welche der Graph in y-Richtung verläuft, wenn man sich im Koordinatensystem nach rechts \( (x \rightarrow+\infty) \) oder nach links \( (x \rightarrow-\infty) \) bewegt.
Aufgaben:
Zusatz**: S. 13 Nr. 13

Comments

Diese Erklär-Video könnte weiterhelfen.

Für f(x) = a*x^n gilt für a= 1 : f(x) = x^n

Answer 1

Hast du mal die Dateien geöffnet und dich damit auseinandergesetzt? Es ist ja eigentlich alles eindeutig beschrieben. Teste halt mal die verschiedenen Exponenten durch und lasse dir die Graphen von \(x^1\), \(x^2\), \(x^3\), \(x^{-1}\), \(x^{-2}\) usw. anzeigen. Was stellst du fest.

Für den Definitionsbereich kannst du Dinge eintragen wie:

\(\mathbb{R}\) für alle reellen Zahlen.

\(\mathbb{R}\setminus \{k\}\) für alle reellen Zahlen ohne die Zahl \(k\).

\(\mathbb{R}^{\geq 0}\) für alle reellen Zahlen größer oder gleich 0.

Schau, welche Schreibweisen es dazu im Unterricht gab bzw. in deinem Buch gibt.

Für den Wertebereich kannst die gleichen Schreibweisen verwenden.

Bei den gemeinsamen Punkten ist es sinnvoll, sich mehrere dieser Potenzfunktionen gleichzeitig zeichnen zu lassen, zum Beispiel \(x^1\), \(x^3\), \(x^5\) (also die, die jeweils zu einer Spalte gehören). Punkte schreibt man in der Form \(P(x|y)\).

Für das Verhalten im Unendlichen gibt es die Schreibweisen \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\). Hier kann \(\infty\) in beiden Fällen auch durch \(-\infty\) ersetzt werden, so dass auch \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty\) möglich ist. Schlage auch hier in deinem Buch einmal nach.

Bei der Symmetrie gibt es die Achsensymmetrie zur y-Achse sowie die Punktsymmetrie zum Ursprung. Beide Arten lassen sich sehr gut erkennen. Im ersten Fall, ist der Graph an der y-Achse gespiegelt. Im zweiten Fall sieht der Graph genau so aus, wenn man das Bild um 180° dreht.

Kommst du mit diesen Tipps weiter?

  

Comments

woher weiß ich, was im definitionsbereich gehört und was nicht, moment ich zeige dir mal was ich versucht habe

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was genau ist der wertebereich und wie kann ich das mit geogebra versuchen?

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Bei Potenzfunktionen sind fast alle Werte im Definitionsbereich. In manchen Fällen gibt es da jedoch eine kleine Ausnahme. Das erkennt man dann an einem "Loch" oder eine "Lücke" im Graphen. Man spricht da auch von einer Definitionslücke.

Der Wertebereich sind alle y-Werte, die eine Funktion annehmen kann. Du schaust also, ob du für jeden y-Wert auch einen x-Wert finden kannst. Bei der Normalparabel \(x^2\) gibt es zum Beispiel für negative y-Werte keinen x-Wert, weil der Graph nur im positiven Bereich verläuft, also oberhalb der x-Achse, wo alle y-Werte positiv sind. Und natürlich für den Wert 0 im Ursprung.

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ich verstehe nicht, wie ich den y wert in geogebra einsetzen kann

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Du musst keinen y-Wert einsetzen. Du musst nur schauen, wo der Graph verläuft. Das sollte man eigentlich gut sehen können. Aber auch hier der Tipp: Schau in dein Buch, was da konkret zum Wertebereich steht. Dort findest du auch Beispiele.

Es ist wichtig - gerade auch in der Oberstufe - dass man sich auch selbstständig mit den Erklärungen im Buch einmal auseinandersetzt. Da findet man zu jeder Definition in der Regel auch Beispiele.

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vielen Dank und was soll ich bei gemeinsame punkte angeben

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sind die gemeinsame punkte bei gerade und positive exponente immer (-1/-1) (1/1) und (0/0)

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Nicht ganz. Es muss der Punkt (-1|1) sein. Prüfe nochmal. Gemeinsame Punkte sind Punkt, so sich alle Graphen schneiden.

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ich verstehe nicht ganz, wieso man bei einem negativen exponenten und einer geraden zahl im wertebereich nur positive werte einsetzen kann, ich habe z.B. im Taschenrechner -2^-3 eingesetzt und das hat funktioniert, also den wertebereich hab ich nicht so ganz verstanden

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Pass auf mit den Begriffen. Du setzt "im Wertebereich" nichts ein. In deinem Beispiel \(-2^{-3}\) ist der Exponent außerdem nicht gerade. Beachte bitte außerdem, dass du beim Einsetzen von negativen Zahlen Klammern setzen muss. Richtig wäre also \((-2)^{-3}\).

Bei geraden, negativen Exponenten kürzt sich das Minus immer raus, weil Minus mal Minus ergibt Plus. Das gilt aber sogar für gerade, positive Exponenten. Du kannst das ausprobieren, wenn du mal sowas wie \((-2)^{6}\) ausschreibst. Deswegen besteht der Wertebereich bei diesen Funktionen nur aus den positiven Zahlen und 0 (wenn Exponent positiv).

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wenn wir im wertebereich nichts einsetzen, wozu ist er dann da?

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Der Wertebereich gibt an, welche Werte die Funktion annehmen kann, wenn man etwas für \(x\) aus dem Definitionsbereich einsetzt. Wenn zum Beispiel \(f(x)=x^2\) ist, dann kann keine negative Zahl im Wertebereich von \(f\) sein, weil es keine Zahl \(x\) gibt, so dass \(f(x)=x^2\) negativ ist.

Answer 2

Hallo.

Mache dir doch mal am besten zu allem ein Beispiel. Das ist nämlich sehr grundlegend und Beispiele können da echt helfen.

Ich betrachte mal die Potenzfunktionen mit negativen Potenzen, da die Potenzfunktionen der positiven Potenzen eigentlich fast schon intuitiv sind :)

Sei f(x) := x^(-n) = 1/x^n, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist.

Dann sieht man leicht, das x = 0 eine Polstelle von f ist (Polstelle bedeutet eine Definitionslücke). Nun ist die Frage, ob weitere x Polstellen davon sind. Die Antwort ist Nein! Wann ist denn der Ausdruck 1/x^n nicht definiert? Für den Fall, das der Nenner Null wird bzw. verschwindet, da man dann durch Null teilen würde, was nicht geht. Der Ausdruck x^n im Nenner kann für natürliche Zahlen n, nur für x = 0, verschwinden, wobei es eben dann eine Definitionslücke gäbe. D.h. die Funktion f(x) = x^(-n) ist für alle x ≠ 0 definierbar, also ist die maximale Definitionsmenge die Menge der reelen Zahlen, ohne die Null.

Schreibweise: D = |R \ {0}. (Du kannst also alles einsetzen, ausser die Null).

Der Wertebereich ist die Menge aller Werte, die die Funktion annehmen kann, also die Menge aller f(x), wobei x eben das eingesetzte Argument ist. Der Wertebereich hier hängt davon ab, ob n gerade oder ungerade ist. Wenn n gerade ist, so ist x^n immer positiv & somit auch der Kehrwert x^(-n). Für n gerade gilt also f(x) = x^(-n) > 0 für alle x ≠ 0. D.h. der Wertebereich sind die positiven reelen Zahlen (0,inf) =: |R_>0. Wenn n ungerade ist, so sieht es anders aus. Betrachte mal das Beispiel: f(x) := x^(-1) = 1/x auf |R \ {0} definiert.

Das Grenzwerverhalten sollte klar sein. Was passiert denn mit 1/x^n wenn x unendlich wächst oder kleiner wird? Schaue dir da am besten auch mal die Graphen für zwei Beispiele an, mit jeweils einer Potenzfunktion mit negativer ungerader Potenz und einer mit negativer gerader Potenz.

Schnittpunkte, setzt du die Funktionen gleich und überprüfst auch, wie es variiert von der Wahl von n als gerade oder ungerade Potenz.

Die Funktion f(x) = 1/x ist z.B. punktsymmetrisch für alle x, wobei f(x) = 1/x^2 achsensymmetrsich ist (zum Ursprung beides). Prüfe es gerne mal mit der Definition nach. Gilt also die Achsensymmetrie auch für allgemeine geraden negativen Potenzen bzw. die Punktsymmetrie für allgemeine ungeraden negativen Potenzen?

Comments

Ich habe meine Antwort nochmal bearbeitet, da du ja vermutlich in der EF bist. Ist jetzt bestimmt verständlicher und falls nicht, frage gerne nach.