Eigenschaften des Erzeugnisses 1. ⟨M⟩+⟨N⟩ = ⟨M∪N⟩ 2. ⟨⟨M⟩⟩ = ⟨M⟩

Question

Sei V ein K-Vektorraum und seien M, N ⊆ V . Beweisen Sie folgende Eigenschaften des Erzeugnisses:

1. ⟨M⟩+⟨N⟩ = ⟨M∪N⟩

2. ⟨⟨M⟩⟩ = ⟨M⟩

Es wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte, da ich nicht weiß wie ich hier bei der Aufgabe vorgehen muss.

Answer 1

Das Erzeugnis einer Menge  M von Vektoren sind alle Linearkombinationen,

die sich aus diesen bilden lassen oder vielleicht habt ihr auch

definiert: Der "kleinste" Unterraum von V, der alle Elemente von

M enthält.

Nehmen wir mal das letztere und zeigen zuerst:

⟨M⟩+⟨N⟩ ⊆ ⟨M∪N⟩.

Sei also U=⟨M⟩+⟨N⟩ und u ∈ U.

==>  Es gibt a  ∈  ⟨M⟩    und b  ∈ ⟨N⟩ mit u=a+b

(Def. der Summe zweier Unterräume.)

Weil sowohl a als auch b in M∪N sind,

also auch in  ⟨M∪N⟩, und  ⟨M∪N⟩.ein Unterraum ist,

ist auch die Summe in  ⟨M∪N⟩, also u ∈  ⟨M∪N⟩.

Dann weiter argumentieren für ⟨M⟩+⟨N⟩ ⊇ ⟨M∪N⟩

und du hast die erste Gleichung bewiesen.

Schau auch mal bei

https://www.mathelounge.de/403772/eigenschaften-der-linearen-hulle