Bestimmen von einem Vektor der folgende Eigenschaften erfüllt

Question

 

:)

Mir ist klar was L(v,u) bedeutet nämlich die lineare Hülle von u und v und das ist die Menge aller Linearkombinationen.

d.h die Linearkombination von u und v wäre zum beispiel (-2,-1,-2) aber der gesuchte Vektor muss ja folgende Eigenschaften besitzen

Skalarprodukt ist 0 und die Normen sind gleich

Irgendwie finde ich keinen Vektor auf den dies alles zutrifft

Gibt es dazu mehrere Vektoren?

Answer 1

Sei \( \tilde{v} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \). Für \( \tilde{v} \) gilt ja: \( \tilde{v} = s\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} , s,t \in \mathbb{R}\)
Damit hast du x,y,z durch s und t ausgedrückt.(z.B. x = s+2t) Mit den zwei Bedingungen (Skalarprodukt, Norm) erhälts du 2 Gleichungen. In diesen Gleichungen ersetzt du x,y,z durch jeweils einen Ausdruck mit s und t. Damit erhälts du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
\( \tilde{v} = \sqrt { 2}\begin{pmatrix} \frac { 1}{ 2 }\\-2\\\frac { 1}{ 2 }\end{pmatrix}\)

Comments

 Nehm ich für Norm dies oder

die Quadratwurzel von x²+x² usw.

beim Skalarprodukt komm ich auf die Matrix

x=2s+4t

y=2s+t

z=2s+4t

und das ganze ist gleich 0.

Wie komm ich jetzt auf das Ergebnis?

Danke !

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\( < v,\tilde{v}> = 0\), dh  \( 2x+y+2z = 0\)

weiter haben wir: \(  \lVert v\lVert  = \lVert \tilde{v} \lVert \) , dh \( \sqrt { x^2 + y^2 + z^2 } = \sqrt{4+1+4} \)

Nun ersetzen wir x,y,z mit  \( x = s+2t, y =2s+t, z = s+2t\) und erhalten:
(i) \( 2(s+2t)+(2s+t)+2(s+2t) = 0\)

und (ii) \( \sqrt { (s+2t)^2 + (2s+t)^2 + (s+2t)^2 } = \sqrt{4+1+4} = 3 \)
Nun Gleichung (i) nach s auflösen:
\( 2s+4t+2s+t+2s+4t = 0     \Rightarrow s = -\frac { 3 }{ 2 }t\)
Nun s in Gleichung (ii) einsetzen und quadrieren:
 \( (-\frac { 3 }{ 2 }t+2t)^2 + (2*(-\frac { 3 }{ 2 }t)+t)^2 + (-\frac { 3 }{ 2 }t+2t)^2   = 9  \Rightarrow t^2 = 2 \Rightarrow t = \sqrt{2} \Rightarrow s =-\frac { 3 }{ 2 }\sqrt { 2 } \)
Nun noch berechnen: \( \tilde{v} =su +tv  \)