Integralrechnung: Eingeschlossene Fläche zwischen f:x → x^2 und 2 Tangenten an f.

Question

Ich habe da mal eine Frage und hoffe man kann mir hier helfen.

Gegeben ist die quadratische Funktion f:x → x^2

Der Graph ist ja eine Normalparabel. Jetzt meine beiden Fragen:

a.) Zeigen Sie, dass sich die beiden Tangenten an den Stellen x=-2 und x=2 in einem Punkt auf der y-Achse schneiden.

b.) Berechnen Sie die Fläche, die die Normalparabel mit den beiden in Aufgabe a.) genannten Tangenten einschließt.

Bitte mit Rechenweg.  

Answer 1

hi

a)
f(x) = x^2
f'(x) = 2x

tangentengleichungen aus punkt-steigungsform
f'(x) = (y-y1)/(x-x2)
aufstellen

t₁: f'(2) = 4 = (y-4)/(x-2)
t₁: y = 4x - 4
t₂: f'(-2) = -4 = (y-(-4))/(x-2)
t₂: y = -4x - 4

wenn sich die tangenten t₁ und t₂ in einem punkt auf der x-achse
scheiden sollen, dann müssen beide denselben y-wert bei x = 0 haben.

t₁: f(0) = 4*0 - 4 = -4
t₂: f(0) = -4*0 - 4 = -4
jepp, t₁ und t₂ schneiden sich bei x = 0 und y = -4.

b)

fläche unter g(x) von 0 bis 1
|A₁| = 1*4/2 = 2
fläche unter g(x) von 1 bis 2
A₂ = 2 (dreiecksfläche mit gleicher höhe und grundseite)
fläche unter f(x) von 0 bis 2
A₃ = ∫x^2 dx = [x^3/3](von 0 bis 2)
A₃ = 8/3
fläche zwischen den graphen, nutzung der symmetrie:
A = 2(A₃ - A₂ + |A₁|)
A = 2(8/3 - 2 + 2)
A = 16/3