Tangente in K hat Steigung m = f ' ( 0) = 0 also t(x) = 0*x+9 = 9
Schnitt von t und K durch
f(x) = t(x) also f(x) = 9 hat die Lösungen 0 und 18.
Also Fläche
Integral von 0 bis 18 über f(x) - t(x) dx gibt 729 als Flächenmaßzahl.
Länge von OP mit Pythagoras l(u) = wurzel ( f(u)^2 + u^2 )
= wurzel ( ( -1/12x
3+3/2x
2+9 )^2 + u^2 ) =
wurzel ( u^6 /144 - u^5/4 + 9u^4 / 4 - 3u^3 / 2 + 28u^2 + 81 )
Für das Max. kannst du die Wurzel weglassen und bestimmst nur das Max von
g(u) = u^6 /144 - u^5/4 + 9u^4 / 4 - 3u^3 / 2 + 28u^2 + 81
mit g ' ( u) = u^5/24 - 5u^4/4 + 9u^3 - 9u^2/2 + 54u
gibt u * ( u^4/24 - 5u^3/4 + 9u^2 - 9u/2 + 54 ) = 0
u=0 oder u^4 - 30u^3 + 216u2 - 108u + 1296 = 0
Für die 2. Gleichung findet man nach (längerem) Raten x=12
also Polynomdivision und es bleibt x^3 - 18x^2 -108 = 0
und hier zeigt einsetzen von 18 als Erg. -108 = 0
d.h. die Lösung ist
(da die linke Seite für x gegen unendlich auch gegen unendlich geht)
jedenfalls größer als 18.
Im Bereich von 0 bis 18 gibt es also nur den Kandidaten 12
für das Maximum und mit g ' ' (u) zeigt sich, dass es dort auch ist.