K und die Tangente von K in Q(0/9) begrenzen im 1. Feld eine Fläche...

Question

Gegeben ist ist die Funktion f mit f(x)=-1/12x^3+3/2x^2+9. Der Graph von f sei K. H(12/81) T(0/9) W(6/45) a.) K und die Tangente von K in Q(0/9) begrenzen im 1. Feld eine Fläche. Berechnen sie ihren Inhalt. b.)Für welches u mit 0(kleiner gleich) u(kleiner gleich) 18 hat die Strecke OP mit P(u/f(u)) eine maximale Länge?

Answer 1

Tangente in K hat Steigung m = f ' ( 0) = 0 also t(x) = 0*x+9 = 9
Schnitt von t und K durch
f(x) = t(x)   also   f(x) = 9 hat die Lösungen 0 und 18.
Also Fläche
Integral von 0 bis 18 über  f(x) - t(x)  dx  gibt 729 als Flächenmaßzahl.

Länge von OP mit Pythagoras l(u) = wurzel ( f(u)^2 + u^2 )
= wurzel (  ( -1/12x³+3/2x²+9 )^2  +  u^2 )  =
       wurzel (   u^6 /144   - u^5/4  + 9u^4 / 4   - 3u^3 / 2  + 28u^2 + 81 )

Für das Max. kannst du die Wurzel weglassen und bestimmst nur das Max von

g(u) =   u^6 /144   - u^5/4  + 9u^4 / 4   - 3u^3 / 2  + 28u^2 + 81

mit g ' ( u) = u^5/24 - 5u^4/4 + 9u^3 - 9u^2/2  +  54u

gibt  u * ( u^4/24 - 5u^3/4 + 9u^2 - 9u/2  +  54 ) = 0

u=0  oder  u^4  -  30u^3  +  216u2   -  108u   +  1296  = 0

Für die 2. Gleichung findet man nach (längerem) Raten x=12

also Polynomdivision und es bleibt  x^3 - 18x^2 -108 = 0

und hier zeigt einsetzen von 18  als Erg.  -108 = 0

d.h. die Lösung ist

(da die linke Seite für x gegen unendlich auch gegen unendlich geht)

jedenfalls größer als 18.

Im Bereich von 0 bis 18 gibt es also nur den Kandidaten 12

für das Maximum und mit g ' ' (u) zeigt sich, dass es dort auch ist.