Aus aa−1=e folgt, dass a das Inverse von a−1 ist
Für sich alleine genommen ist diese Folgerung tatsächlich nicht offensichtlich. Am einfachsten ist sie wohl so zu zeigen:
Satz (Eindeutige Lösbarkeit von Gleichungen). Ist G eine Gruppe und sind g,h ∈ G, dann haben die Gleichungen
gx = h
und
xg = h
eindeutige Lösungen für x.
Beweis. Sei G eine Gruppe und g,h ∈ G. Dann gilt
gx = h
⇒ g-1(gx) = g-1h
⇒ (g-1g)x = g-1h (wegen Assoziativgesetz)
⇒ ex = g-1h (weil g-1 invers zu g ist)
⇒ x = g-1h (wegen Neutralität von e).
Wenn die Gleichung gx = h also eine Lösung für x hat, dann muss diese Lösung g-1h sein. Einsetzen dieses Lösungskandidaten in die linke Seite der ursprünglichen Gleichung liefert
g(g-1h)
= (gg-1)h (wegen Assoziativgesetz)
= eh (weil g-1 invers zu g ist)
= h (wegen Neutralität von e).
g-1h ist also tatsächlich eine Lösung der Gleichung gx=h nach x.
Für die Gleichung xg = h verläuft der Beweis analog. q.e.d.
Im Lichte dieser Erkenntnis betrachten wir die Gleichung
xa-1 = e.
Eine Lösung dieser Gleichung ist a, weil a-1 invers zu a ist.
Eine Lösung dieser Gleichung ist (a-1)-1, weil (a-1)-1 invers zu a-1 ist.
Wegen obigem Satz sind beide Lösungen gleich. Also ist (a-1)-1 = a.
