Löse die Gleichung: (x^2 - 7x + 11)^{x^2 - 13x + 42} = 1

Question

Finde alle sechs Lösungen von (x²-7x+11)^{x^2-13x+42} = 1

~plot~ (x^2-7x+11)^(x^2-13x+42); 1; [[ -13 | 13 | -1 | 3 ]] ~plot~

Comments

Es gibt, wie du in deiner Graphik erkennen kannst, nur 4 Lösungen.  Diese sind x=2 x=5, x=6 und x=7.

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Da kriegt man ja Komplexe.

PS:

Obwohl: das sieht Ganz gut aus

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Sehr schöne Aufgabe. Im Ergebnis sehen wir, dass es bisweilen nicht sinnvoll ist, den Graphen zu betrachten... :-)

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Tja. Wiewohl ich meine, dass der Mehrheit der Kandidaten, die hier aufschlagen, besser geholfen ist, wenn man das was sie zu rechnen haben, graphisch veranschaulicht, anstatt einfach Rezepte abzuspulen die sie eh nicht verstehen (sonst würden sie ja nicht fragen).

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Das gibt es, wie Vieles im internet :)

https://www.quora.com/What-are-the-possible-values-of-x-if-x-2-7x-11-x-2-13x-42-1-1

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Und wie Vieles im Internet ist die Antwort falsch (bzw. unvollständig).

\(a^b = 1\) gilt für

(i) a = 1

(ii) b = 0 (a \neq 0)

(iii) a = -1 und b gerade

Und in der Analysis oft auch für

(iv) a = b = 0

Und er Lust hat, kann die Bedingungen noch erweitern für komplexe Zahlen.

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Ich habe Mathematica nach rund einem Tag abgebrochen. Auf das Kommando

Reduce[(x^2 - 7 x + 11)^(x^2 - 13 x + 42) == 1, x, Complexes]

sucht er immer noch, aber findet nichts.

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FEHLERHAFT (30.12.2019)

Hallo döschwo,

mit Schulmathematik ist Folgendes möglich:

1. Festlegung:$$T_{1}=x^{2}-7x+11 \text{ und }T_{2}=x^{2}+13x+42$$

2. Bedingung:$${T_{1}}^{T_{2}}=1 \Longleftrightarrow ({T_{1}}=1 \text{ und }  {T_{2}}=0)\text{ oder }({T_{1}}=-1 \text{ und }  {T_{2}}=0)$$

3. Lösungen: (A und B (getrennt durch "oder"))$${T_{1}}= \Longleftrightarrow x^{2}-7x+11=1 \Longleftrightarrow x_1=4\text{ und }x_2=10$$

und

$${T_{2}}=0 \Longleftrightarrow x^{2}-13x+42=0 \Longleftrightarrow x_3=7\text{ und }x_4=6$$

oder

$${T_{1}}=-1 \Longleftrightarrow x^{2}-7x+11=1 \Longleftrightarrow x_5=3\text{ und }x_6=4$$

und

$${T_{2}}=0 \Longleftrightarrow x^{2}-13x+42=0 \Longleftrightarrow x_3=7\text{ und }x_4=6$$

4. Antwort: Aus Lsg. A ergeben sich vier Lösungen und aus Lsg. B ergeben sich wg. x_6=x_1 weitere drei Lösungen.

VG Knobler_27

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Dabei hatte mlgast1234 die Bedingungen doch bereits so schön und richtig aufgeschrieben gehabt.

Leider sind bei dir weit mehr als ein Fehler vorhanden.

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gerne erfahre inhaltlich eine Mitteilung zu "Leider sind bei dir weit mehr als ein Fehler".

Sollte meine (als helfend gemeinte Antwort) nicht helfend sein, bitte ich darum, meine Antwort zu löschen.

VG, Knobler_27

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Wie bereits gesagt hatte mlgast1234 die Bedingungen schon richtig aufgeschrieben. Warum weichst du von denen ab.

Die Bedingung lautet z.B. nicht

T1 = 1 und T2 = 0

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Hallo Knobler_27,

döschwo ist kein Hilfe suchender Fragesteller, sondern hat die Aufgabe als Leckerli für all die klugen Antwortgeber hingeworfen.   :-)

Zu deinen Fehlern:

T₁=1 oder T₂=0 oder (T₁=-1 und T₂ gerade)

Außerdem Tippfehler bei x₂=3 (nicht 10)

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Außerdem  unter der Lösung 3.

T1 = ...

einen fehlenden Wert. Weiterhin in der Zeile mit

T1 = -1 fehlt das negative Vorzeichen vor der 1 bei x^2 - 7x + 11 = 1

Die Bedingungen waren

T1 = 1
oder
T1 = -1 und T2 gerade
oder
T1 ≠ 0 und T2 = 0

eventuell auch T1 = 0 und T2 = 0, wenn man für die Analysis 0^0 = 1 definiert hat.

Answer 1

Das sind meine 6 Lösungen

x^2 - 7·x + 11 = 1 --> x = 2 ∨ x = 5
x^2 - 7·x + 11 = -1 --> x = 3 ∨ x = 4 → Die Exponenten sind hier gerade

x^2 - 13·x + 42 = 0 --> x = 6 ∨ x = 7

Comments

Deine Lösung ist nicht ganz vollständig.

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Na ja, Maple findet vier Lösungen, Mathematica sechs...

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Mathematica lässt sich im Rechenweg nicht von komplexen Zahlen abschrecken und verwendet da teilweise (eigene) Definitionen.

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Und immer wieder schön, dass man sein Gehirn in die Cloud auslagern kann.

Es fehlt trotzdem noch etwas.

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Du meinst wahrscheinlich das, was Du oben im Kommentar zur Frage explizit hingeschrieben hast, und hier nicht steht. Ansonsten wirst Du sicher die Güte haben, es nach Ablauf der Kunstpause mitzuteilen :)

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Ist die Kunstpause beendet oder soll ich noch warten?

Bedingungen in sinnvollerer Reihenfolge:

\(a^b = 1\) gilt (reell) für

(i) a = 1

(ii) a = -1 und b gerade

(iiia) b = 0 (a \neq 0)

(iiib) a = b = 0 (wg. Analysis)

In (i) a = 1 setzen, b ist dabei egal

In (ii) a = -1 setzen; die Lösungen in b einsetzen und prüfen, ob gerade.

In (iii) b = 0 setzen; die Lösungen in a einsetzen und auf 0 prüfen.

==> Das Letzte fehlt noch.

Answer 2

Der Graph muss um die Punkte (3|f(3)) und (4|f(4)) - und ein paar weitere Punkte - ergänzt werden. Interessant finde ich, warum der Graph unterbrochen ist und in diesem Intervall nur für 3 und 4 definiert ist. Definitionslücken entstehen, wenn die Basis (blau) negativ und der Exponent (grün) nicht ganzzahlig ist.

https://www.desmos.com/calculator/e9uhk43xwf

Answer 3

Aloha :)

$$(x^2-7x+11)^{(x^2-13x+42)}=1$$

1. Fall: \(y^0=1\)

Die Nullstellen der Exponent-Parabel erfüllen also die Gleichung:$$0\stackrel{!}{=}x^2-13x+42=(x-6)(x-7)\quad\Rightarrow\quad \underline{x_1=6}\;\;;\;\;\underline{x_2=7}$$Da \(0^0\) nicht definiert ist, prüfen wir sicherheitshalber noch, ob die Basis-Parabel an diesen Stellen \(\ne0\) ist:$$x_1^2-7x_1+11=6^2-7\cdot6+11=5\ne0$$$$x_2^2-7x_2+11=7^2-7\cdot7+11=11\ne0$$

2. Fall: \(1^y=1\)

Die Stellen, an denen die Basis-Parabel \(=1\) wird, erfüllen also die Gleichung:$$x^2-7x+11=1$$$$x^2-7x+10=0$$$$(x-5)(x-2)=0$$$$\underline{x_3=5}\;\;;\;\;\underline{x_4=2}$$

3. Fall: \((-1)^{2n}=1\;,\;n\in\mathbb{Z}\)

Wir suchen also die Stellen, wo die Basis-Parabel \(=-1\) wird und prüfen, ob die Exponent-Parabel für die gefundenen Werte eine gerade Zahl ist:$$x^2-7x+11=-1$$$$x^2-7x+12=0$$$$(x-3)(x-4)=0$$$$\underline{x_5=3}\;\;;\;\;\underline{x_6=4}$$Prüfung der Expoent-Parabel:$$x_5^2-13x_5+42=3^2-13\cdot3+42=12\quad\checkmark$$$$x_6^2-13x_6+42=4^2-13\cdot4+42=6\quad\checkmark$$

Die Lösungsmenge ist daher: \(L=\{2,3,4,5,6,7\}\).