Wie den Konvergenzradius einer Potenzreihe bestimmen?

Question

Aufgabe:

Es soll der Konvergenzradius R der Potenzreihe f(x)= \( \sqrt[3]{8+x} \)  bestimmt werden, der sich bei einer Taylor-Entwicklung an der Stelle x=0 ergibt.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte einer schnell die Lösung nennen? Muss es einreichen, bin bis jetzt aber nicht auf die Lösung gekommen.

Rechenweg wäre auch prima, damit ichs fürs nächste mal weiß, aber Lösung ist mir momentan wichtiger.

Ich danke demjenigen, der mir die richtige Lösung nennen kann tausendfach :-)

Comments

Hallo

 hast du denn die Taylorreihe? dann wie immer mit Quotienten oder Wurzelformel für den Radius.

lul

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nope leider nicht lul

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Na, dann mach dich mal dran die zu produzieren! Frohe Weihacht!

lul

Answer 1

Hallo,

ohne Rechnung: der Konvergenzradius ist 8, denn für x<-8 ist die Funktion nicht definiert und ansonsten konvergiert die Potenzreihe immer, da bei Potenzfunktionen keine Probleme auftreten.

Answer 2

Hallo,

eine kleine Anleitung:

(1) Finde \(\frac{d^n}{dx^n}(\sqrt[3]{8+x})\)

(2)  Taylorreihe aufstellen

(3) Quotienten- oder Wurzelkriterium für Konvergenzradius.

Tipp zu (1):

Beweise über vollständige Induktion, dass $$\frac{d^n}{dx^n}(\sqrt[3]{8+x})=(-1)^{n+1}\frac{n!!!}{3^n(8+x)^{\frac{3n-1}{3}}}$$ Siehe hierzu vielleicht "Multifakultät"

Comments

Mit der Binomischen Reihe gilt auch der Zusammenhang:$$\sqrt[3]{8+x}=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n2^{1-3n}\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ n \end{pmatrix}}$$ lässt sich bestimmt vereinfachen.

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Kannst du mir nicht einfach den Weg hierfür nennen, dann kann ich meine anderen Aufgaben auch auf dem Weg lösen :)

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Ich finde Kooperation immer besser.