Flughöhe eines Heißluftballons / Analysis

Question

Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe:

Die Flughöhe eines Heißluftballons wird durch die Funktion h(t) = \( \frac{1}{3} \) t³ - 2t² +3t, 0≤t≤30 beschrieben (t in Stunden, H in km).

a) Welchen mittleren Höhengewinn erzielt der Ballon in der ersten Flugstunde?

m = \( \frac{dy}{dx} \) = \( \frac{h(1) - h(0)}{1-0} \) = \( \frac{4/3}{1} \)
m ≈ 1.33 \( \frac{km}{h} \)
Der mittlere Höhengewinn in der ersten Flugstunde beträgt ca. 1.33 \( \frac{km}{h} \).

b) Welche Maximalhöhe erreicht der Ballon?

notw. Krit: h'(t) = 0
t² - 4t + 3 = 0
pq-Formel anwenden → t₁=3, t₂=1
hinr. Krit: h'(t) = 0 und h''(t) ≠ 0
h''(t) = 2t - 4
h''(3) = 2 > 0 → TP
h''(1) = -2 < 0 → HP(1 / h(1)) → HP(1 / \( \frac{4}{3} \) )
Die Maximalhöhe beträgt ca. 1.33 km.

c) Wie groß ist die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Ballons bei Start und Landung?

Start: m = h'(0) = 3 \( \frac{km}{h} \)
Landung: h(t) = 0 → t₁=0, t_2/3=3, m = h'(3) = 0 \( \frac{km}{h} \)
Bei Start beträgt sie 3 \( \frac{km}{h} \), bei Landung 0 \( \frac{km}{h} \).

d) Wann sinkt der Ballon am schnellsten? In welcher Höhe geschieht dies?

notw. Krit: h''(t) = 0
2t - 4 = 0
2t = 4
t = 2
Bei t = 2 Stunden sinkt der Ballon am schnellsten.
h(2) = \( \frac{2}{3} \) km
Dies geschieht in ca. 0.67 km bzw. 666,67 m Höhe.

e) Wann steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 \( \frac{m}{min} \)?

21 \( \frac{m}{min} \) = 1,26 \( \frac{km}{h} \)

h'(t) = 1,26

t² - 4t + 3 = 1,26
t² - 4t + 1,74 = 0
pq Formel anwenden → t₁ ≈ 3,5, t₂ ≈ 0,5
Nach ca. einer halben Stunde und nach ca. dreieinhalb Stunden steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 \( \frac{m}{min} \).

Passt das alles so?

Answer 1

Hallo Emre,

das sieht alles gut aus, außer:

1/3·t³ - 2t² + 3t ,  0 ≤ t ≤ 30    (t in Stunden, h in km).
b) Welche Maximalhöhe erreicht der Ballon?

Hier liegt wohl ein Tippfehler vor.  Es soll wohl 0 ≤ t ≤ 3  lauten.

Denn wegen h(3) = 0 landet der Ballon nach 3 Stunden. Danach würde er wieder aufsteigen und die absolut unrealistische Maximalhöhe  h_max = h( 30) = 7290 km erreichen.
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Mit  der ersten Ableitung  kannst du erst einmal nur lokale Extremstellen finden. Für die absoluten Extrema sollte man die Randbetrachtung nicht vergessen.

Gruß Wolfgang

Comments

Nach ca. einer halben Stunde und nach ca. dreieinhalb Stunden steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 m/min

Da der Definitionsbereich nur im Bereich von 0 bis 3 Sinn macht ist dieses natürlich auch nicht korrekt. Es sollte folglich nur

Nach ca. einer halben Stunde steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 m/min.

lauten.

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Vielen Dank!