Hallo, ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe:
Die Flughöhe eines Heißluftballons wird durch die Funktion h(t) = \( \frac{1}{3} \) t³ - 2t² +3t, 0≤t≤30 beschrieben (t in Stunden, H in km).
a) Welchen mittleren Höhengewinn erzielt der Ballon in der ersten Flugstunde?
m = \( \frac{dy}{dx} \) = \( \frac{h(1) - h(0)}{1-0} \) = \( \frac{4/3}{1} \)
m ≈ 1.33 \( \frac{km}{h} \)
Der mittlere Höhengewinn in der ersten Flugstunde beträgt ca. 1.33 \( \frac{km}{h} \).
b) Welche Maximalhöhe erreicht der Ballon?
notw. Krit: h'(t) = 0
t² - 4t + 3 = 0
pq-Formel anwenden → t1=3, t2=1
hinr. Krit: h'(t) = 0 und h''(t) ≠ 0
h''(t) = 2t - 4
h''(3) = 2 > 0 → TP
h''(1) = -2 < 0 → HP(1 / h(1)) → HP(1 / \( \frac{4}{3} \) )
Die Maximalhöhe beträgt ca. 1.33 km.
c) Wie groß ist die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit des Ballons bei Start und Landung?
Start: m = h'(0) = 3 \( \frac{km}{h} \)
Landung: h(t) = 0 → t1=0, t2/3=3, m = h'(3) = 0 \( \frac{km}{h} \)
Bei Start beträgt sie 3 \( \frac{km}{h} \), bei Landung 0 \( \frac{km}{h} \).
d) Wann sinkt der Ballon am schnellsten? In welcher Höhe geschieht dies?
notw. Krit: h''(t) = 0
2t - 4 = 0
2t = 4
t = 2
Bei t = 2 Stunden sinkt der Ballon am schnellsten.
h(2) = \( \frac{2}{3} \) km
Dies geschieht in ca. 0.67 km bzw. 666,67 m Höhe.
e) Wann steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 \( \frac{m}{min} \)?
21 \( \frac{m}{min} \) = 1,26 \( \frac{km}{h} \)
h'(t) = 1,26
t² - 4t + 3 = 1,26
t² - 4t + 1,74 = 0
pq Formel anwenden → t1 ≈ 3,5, t2 ≈ 0,5
Nach ca. einer halben Stunde und nach ca. dreieinhalb Stunden steigt der Ballon mit einer Geschwindigkeit von 21 \( \frac{m}{min} \).
Passt das alles so?
