Anwendungsaufgaben - Kurvendiskussion. Flughöhe eines Segelflugzeugs

Question

Ich brauch Hilfe bei der folgenden anwendungsaufgabe:

Flughöhe eines Segelflugzeuges

Die Flughöhe eines Segelfliegers wird durch die Funktion h(t) = 0,001t³ + 6t + 200 modelliert. (t in Minuten nach dem Ausklinken des Zugseiles, h(t) in Metern).

a) In welcher Höhe wird das Flugseil ausgeklinkt?

b) Wie lange dauert der Segelflug? Geben Sie auch den Definitionsbereich an.

c) Berechnen Sie die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit eine Stunde nach Ausklinken des Seils.

d) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Flugzeug eine Steiggeschwindigkeit 2,7 m/min (eine Sinkgeschwindigkeit von 2,1 m/min) hat.

Ich weiß nicht was ich berechnen soll hier ist mein Ansatz:

a.) h(t)=0 Nullstellen

b.) nach t umstellen

C.) h''(t)=0 Wendepkt.e

D.) h(2,7)=...

h(t) = 0.001t^3 - 0.18t + 6t + 200

 

Comments

das ist 'fast' die gleiche Aufgabe wie diese hier.

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Welchen Lösungsweg würdest du für Frage b.)
empfehlen ?

Answer 1

a) h'(t)=0 für maximale Höhe -> T_Strt und h_start

b) h(t)=0 für Landezeitpunkt, Start des Flugs in (a) berechnet -> T_lande-T_Start

c) h'(T_Start+60min)

d) h'(t) = 2.7 (=-2.1), nach t auflösen

Comments

Bei der Antwort zu a) ist leider ein Fehler.  Das Seil wird zum Zeitpunkt t = 0 ausgeklinkt, also ist h(0) gefragt.

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Oha, stimmt natürlich:)

Answer 2

a.) h ( 0 ) = 200

b.) Nullstelle ermitteln.
Höhe beim Landepunkt = 0 m
h ( t ) = 0 m
Ist nicht algebraisch zu lösen.
das Newton Verfahren kann angewendet werden.

Es kann vermutet werden das h ´ beim
Landepunkt 0 ist.
Die Skizze zeigt einen Tiefunkt:

h ´( t ) = 0.003 * t^2 - 0.36 * t + 6
0.003 * t^2 - 0.36 * t + 6 = 0
t = 100 min

Probe ob beim Tiefpunkt h ( 100 ) = 0 m ist. Bingo.
D = [ 0 ; 100 ]

c.)
Die Geschwindigkeit ist die 1.Ableitung
h ´( t ) = 0.003 * t^2 - 0.36 * t + 6
h ´( 60 ) = v ( 60 ) = - 4.8 m / s

d.)
h ´ ( t ) = v ( t ) = 2.7
t =  10 min
Der andere Wert ist 110 min und liegt außerhalb des
Def-Bereichs

Sinken -2.1
t = 30 min und t = 90 min

mfg Georg

Comments

Du kannst bei b) argumentieren, dass die Sinkgeschwindigkeit (vertikal gemessen) im Augenblick der Landung idealerweise 0 sein sollte. (Sonst hüpft das Flugzeug auf der Landebahn)

Da sich dann noch herausstellt, dass die Höhe 0 nach 100 Minuten 0 ist, befindet sich der Landeplatz auf der Höhe 0. 

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h ( t ) = 0 m ist nicht algebraisch zu lösen.

Und warum nicht? Es ist

h(t) = 1/1000 * t^3 - 18/100 * t^2 + 6 * t + 200 = 1/1000 * (t + 20) * (t - 100)^2

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Btw Gleichungen 3ten Grades sind immer algebraisch lösbar. Mich wundert es, dass hier nicht wie üblich versucht wurde, die Nullstellen gleich zu erraten ;)

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Die Frage ist, ob zur Bearbeitung dieser Aufgabe ein grafikfähiger Taschenrechner benutzt werden darf.  Ohne GTR muss mein ein bisschen nachdenken, mit GTR, z. B. TI-82, ist natürlich die Nullstellensuche und Anderes total easy.

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@RomanGa

h(t) = 0.001t^3 - 0.18t + 6t + 200 

h(t) = 0.001(t^3 - 180t + 6000t + 200000) 

Bei der Nullstellensuche ohne Hilfsmittel kannst du die Nullstellen erraten, indem du 200000 faktorisierst und vielleicht noch überlegst, was zu den andern Summanden passen könnte. Ältere Aufgaben (ohne TR) sind so gemacht, dass man Nullstellen über eine Faktorisierung findet.  

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@Roman

Ohne GTR muss man ein bisschen nachdenken,

Das habe ich bereits getan. ich schrieb:

Es kann vermutet werden das h ´ ( Sinkgeschwindigkeit )
beim Landepunkt 0 ist.

h ´( t ) = 0.003 * t2 - 0.36 * t + 6
0.003 * t2 - 0.36 * t + 6 = 0
t = 100 min

Probe ob beim Tiefpunkt h ( 100 ) = 0 m ist. Bingo.

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Ich persönlich hätte nur auf eine Nullstelle geprüft. 

Wenn die Höhe des Segelfliegers beschrieben werden könnte als

h(t) = 200 - 200/100 * t

Dann würde man ja auch nur schauen wo der Flieger den Erdboden erreicht. Die Änderungsrate des Höhenunterschieds wäre dann egal. 

Um Schäden am Fahrwerk zu vermeiden, darf die Änderungsrate beim aufsetzen allerdings einen kritischen Wert nicht übersteigen.

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Hallo Coach,

Die Höhenfunktion ist eine Funktion 3.Grades.

Deshalb wurde mit der 1.Ableitung gearbeitet.