Funktionsgleichung zur Flughöhe einer Kugel verwenden: Formel h(t)=h0+v0*t - 5t².

Question

funktionsgleichung zur höhe einer Kugel berechnen: Formel h(t)=h0+v0*t - 5t².

Die Höhe einer Kugel ,die senkrecht nach oben geschossen wird,setzt sich aus ihrer Anfangshöhe h0,ihrer
Anfangsgeschwindigkeit V₀ und dem Fallweg h(t)=h₀+v₀*t - 5t².

Nach 2s wird eine Höhe von 22m und nach 3s eine Höhe von 17m gemessen.

Mein lehrer sagt ich soll eine funktionsgleichung aufstellen und einen geaphen zeichen,

ich versteh aber die aufgabe nicht

Comments

Die Funktionsgleichung ist ja schon gegeben.

h(t)=h₀+v₀*t - 5t².

Jetzt hast du h(2) = 22 = h₀ + v₀*2 - 5*4

und h(3) = 17 = h₀ + v₀*3 - 5*9

gegeben.

Du musst nun erst mal das blaue Gleichungssystem nach h₀ und v₀ auflösen.

Danach kannst du den Graphen zeichnen (horizontale Achse mit t und vertikale Achse mit h beschriften). Ich nehme an, dass das dann kein Problem mehr ist.

Answer 1

Du hast ja bereits die Funktionsgleichung gegeben. Dort setzt du einfach nur noch ein 

h(t) = h0 + v0*t - 5*t^2

h(2) = 22
h0 + v0*2 - 5*2^2 = 22
h0 + 2*v0 = 42

h(3) = 17
h0 + v0*3 - 5*3^2 = 17
h0 + 3*v0 = 62

Wir erhalten 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten welche man z.B. mit dem Additionsverfahren lösen kann.

h0 + 2*v0 = 42
h0 + 3*v0 = 62

II - I

v0 = 20

Das setzte ich jetzt in eine Gleichung ein

h0 + 2*20 = 42
h0 = 2

Damit lautet die Funktionsgleichung

h(t) = 2 + 20*t - 5*t^2

Skizze

Answer 2

Die allgemeine Gleichung für die Höhe beim freien Fall mit einer Anfangsgeschwindigkeit und einer Anfangshöhe lautet \(h(t)=-gt^2+v_0t+h_0.\)

Da muss man zwei Unbekannte bestimmen (\(v_0 und h_0\)).

Dazu kann man aus den gegebenen Weren zwei Gleichungen aufstellen:

\((1)\, 22m=-4s^2\cdot \frac{g}{2}+2s\cdot v_0+h_0\)

\((2)\, 17m=-9s^2\cdot \frac{g}{2}+3s\cdot v_0+h_0\)

Durch Subtraktion (2)-(1) erhält man \(-5m=-5s^2\cdot g+1s\cdot v_0\). Also ist \(1s\cdot v_0=5s^2\cdot \frac{g}{2}-5m=5s^2\cdot \frac{9,81}{2}\frac{m}{s^2}-5m=5\cdot \frac{9,81}{2}m-5m=19,525m.\)

Wenn man jetzt noch durch 1s dividiert erhält man \(v_0=44,05\frac{m}{s}.\)

Wenn man die erste Gleichung nach \(h_0\) umstellt, hat man \(h_0=22m+4s^2\cdot \frac{g}{2}-2s\cdot v_0=22m+4s^2\cdot \frac{9,81}{2}\frac{m}{s^2}-2s\cdot 19,525\frac{m}{s}=2,57m\)

Die Funktionsgleichung ist also \(h(t)=-gt^2+19,525\frac{m}{s}\cdot t+2,57m.\)