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 Mit einem Laplace-Tetraeder, das auf seinen Flächen die Zahlen 1, 2, 3 und 4 trägt, wird zweimal geworfen. (Es gilt die Zahl als geworfen, die auf der unten liegenden Fläche steht). Folgende Ereignisse sind definiert:
A = >> Das Ergebnis, des 1. Wurfs ist kleiner als 3 und der 2. Wurf liefert eine ungerade Zahl. <<
B = >> Die Summe der Augenzahlen aus beiden Würfen ist ungerade.<<
a) Gib einen geeigneten Ergebnisraum Ω an!
b) Gib A und B explizit als Teilmengen von Ω an!
c) Prüfe durch Rechnung, ob A und B unabhängig sind!

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Aloha :)

Teil a) Gib den Eregnisraum \(\Omega\) an:


1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)

$$\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),$$$$\phantom{\Omega=\{}(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}$$

Teil b) Gib A und B als Teilmengen von \(\Omega\) an.

A = Das Ergebnis, des 1. Wurfs ist kleiner als 3 und der 2. Wurf liefert eine ungerade Zahl.$$A=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$$B = Die Summe der Augenzahlen aus beiden Würfen ist ungerade.$$B=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)\}$$Teil c) Prüfe durch Rechnung, ob A und B unabhängig sind.

Für zwei unabhängige Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\). Wir brauchen also nur die 3 darin auftauchenden Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen und zu prüfen, ob die Gleichung gilt oder nicht. \(A\cap B\) besteht aus den Elementen, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten sind:$$A\cap B=\{(1,3),(2,1),(2,3)\}$$Jetzt zählen wir die Elemente in den einzelnen Mengen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten:$$P(A\cap B)=\frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega}=\frac{3}{16}$$$$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$$$P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$$Jetzt prüfen wir die Gleichung \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).$$\frac{3}{16}\ne\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{2}{16}$$Die beiden Ereignisse \(A\) und \(B\) sind also nicht unabhängig voneinander.

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Der  Ergebnisraum Ω besteht aus den 16 möglichen Paaren

(erster Wurf , zweiter Wurf).

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