Aloha :)
Teil a) Gib den Eregnisraum \(\Omega\) an:
| 1
| 2
| 3
| 4
|
1
| (1,1)
| (1,2)
| (1,3)
| (1,4)
|
2
| (2,1)
| (2,2)
| (2,3)
| (2,4)
|
3
| (3,1)
| (3,2)
| (3,3)
| (3,4)
|
4
| (4,1)
| (4,2)
| (4,3)
| (4,4)
|
$$\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),$$$$\phantom{\Omega=\{}(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}$$
Teil b) Gib A und B als Teilmengen von \(\Omega\) an.
A = Das Ergebnis, des 1. Wurfs ist kleiner als 3 und der 2. Wurf liefert eine ungerade Zahl.$$A=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$$B = Die Summe der Augenzahlen aus beiden Würfen ist ungerade.$$B=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)\}$$Teil c) Prüfe durch Rechnung, ob A und B unabhängig sind.
Für zwei unabhängige Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\). Wir brauchen also nur die 3 darin auftauchenden Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen und zu prüfen, ob die Gleichung gilt oder nicht. \(A\cap B\) besteht aus den Elementen, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) enthalten sind:$$A\cap B=\{(1,3),(2,1),(2,3)\}$$Jetzt zählen wir die Elemente in den einzelnen Mengen, um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten:$$P(A\cap B)=\frac{\#(A\cap B)}{\#\Omega}=\frac{3}{16}$$$$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$$$P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$$Jetzt prüfen wir die Gleichung \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).$$\frac{3}{16}\ne\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{2}{16}$$Die beiden Ereignisse \(A\) und \(B\) sind also nicht unabhängig voneinander.
