Komplexen Nullstellen des komplexen Polynoms berechnen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie −3 + 4i = (2i + 1)² . Dann berechnen Sie die beiden komplexen Nullstellen des komplexen Polynoms f(z) = z2 + (3 + 4i)z − 1 + 5i in kartesischer Darstellung.

Problem/Ansatz:

(2 i+1)^{2}=-4+4 i+1=-3+4 i


\( \begin{aligned} z_{1,2} &=-\frac{3+4 \mathrm{i}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3+4 \mathrm{i}}{2}\right)^{2}+1-5 \mathrm{i}} \\ &=-\frac{3+4 \mathrm{i}}{2} \pm \sqrt{\frac{9+24 \mathrm{i}-16+4-20 \mathrm{i}}{4}} \\ &=-\frac{3+4 \mathrm{i}}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{-3+4 \mathrm{i}} \end{aligned} \)

leider weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Answer 1

z^2 + (3 + 4·i)·z + (-1 + 5·i) = 0

z = - (3 + 4·i)/2 ± √(((3 + 4·i)/2)^2 - (-1 + 5·i))

z = - (3 + 4·i)/2 ± √((4·i - 3)/4)

z = - (3 + 4·i)/2 ± √((2·i + 1)^2/4)

z = - (3 + 4·i)/2 ± (2·i + 1)/2

z = -i - 1

z = - 3·i - 2

Comments

Ich glaube, ich habe gerade einen Denkfehler.

Weshalb wird denn √((4i - 3)/4) zu √((2i + 1)^2/4)?

Wie komme ich darauf?

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Das hast du selber gezeigt. Oder hattest du die Aufgabe nicht gemacht?

Zeigen Sie: −3 + 4i = (2i + 1)²

Answer 2

leider weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Witzigerweise begann deine Aufgabe mit

Zeigen Sie −3 + 4i = (2i + 1)² .

Nun steht unter der später erhaltenen Wurzel ausgerechnet der Term -3+4i.

Sollte uns das nicht zu denken geben?

Ich meine - nein.

;-)

Answer 3

Hallo,

Du kannst auch -3 +4i in die exponentielle Darstellung bringen.

Du bildest zuerst den Betrag und dann den Winkel.

z = √((Realteil)^2 +Imaginärteil)^2)

tan α =Imaginärteil/Realteil

->ist etwas umfangreicher

Answer 4

Normalerweise wird die Lösung nicht verraten, was dann?

Ansatz \( \sqrt{-3+4i} \) = a + bi, quadrieren a,b (reell) ausrechnen, Probe machen, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung!

-3+4i = a² + 2abi - b² , also ab=2, in a² - b² = -3 eingesetzt:

a⁴ + 3a² -4 =0 ⇔ (a²-1)(a²+4) =0 ⇔ (a-1)(a+1)(a²+4) =0

nur reelle Lösungen interessieren: a=1, b=2 (a=-1, b=-2)

\( \sqrt{-3+4i} \) =\( \sqrt{(±1±2i)^{2}} \)= \( \sqrt{(1+2i)^{2}} \) = I1+2i I

= -1,5 - 2i ± 0,5  I1+2i I = -1,5 - 2i ± 0,5 (1+ 2i) = -1,5 ± 0,5 -2i ±i        \( \sqrt{x^{2}} \) = IxI, und nicht x

z₁ = -2 -3i

z₂= -1 - i