Homomorphie zwischen Gruppen

Question

Aufgabe:

Ist folgende Abbildung ein Homomorphismus zwischen den Gruppen?

(G, °)= (ℤ,+) und (F, #)= ({1,-1), *) mit

f(n)= { 1, n gerade

           -1, n ungerade

Problem/Ansatz:

Die Homomorphiebedingung, die ich zeigen muss, ist ja

f(x+y)= f(x) * f(y)

Mich irritiert die Menge {1,-1). Muss ich die jetzt für x einsetzen? So im Sinne gerade 2n und ungerade 2n+1

Also f(1)* f(y)= 2* 1 *y beziehungsweise f(-1)*f(y)= 2*(-1) +1 *y

Danke für eure Kommentare.

Answer 1

Du kannst das zB so zeigen:

x, y ganze Zahlen

- beide gerade x=2m, y=2n dann ist x+y=2 (m+n) auch gerade

Also f(x)=f(y)=f(x+y)=1, insbesondere

f(x+y) = 1 = 1 * 1 = f(x) * f (y)

- x gerade, y ungerade x=2m, y=2n+1, x+y=2(m+n)+1 ungerade

f(x+y) = -1 = 1 * (-1) = f(x) * f(y)

usw.