Abelsche Gruppe und Gruppen-Homomorphismus

Question

Aufgabe:

Sei \( (G, \circ) \) eine abelsche Gruppe und \( f_{a}(x)=a \circ x \).

(i) Dann ist \( f_{a} \) eine Bijektion, aber im allgemeinen kein Gruppen-Homomorphismus.
Finden Sie Gegenbeispiele und untersuchen Sie, wann \( f_{a} \) doch ein Gruppen-Homomorphismus ist.

(ii) Zeigen Sie, daß die Abbildung \( a \rightarrow f_{a} \) ein Gruppen-Homomorphismus von \( G \) nach \( S_{G} \) (Menge aller bijektiven Abbildungen von \( G \) nach \( G \) ) ist.

Problem/Ansatz:

Ich kann keine Antworten auf diese beiden Fragen finden, egal wie sehr ich mich bemühe. Bitte helfen

Answer 1

Zu (i):

\(f_a(x\\circ y)=a\circ(x\circ y)\) und

\(f_a(x)\circ f_a(y)=(a\circ x)\circ (a\circ y)\).

Diese beiden Gruppenelemente sind gleich, wenn

\(a\circ a\circ x\circ y=a\circ x\circ y\), also \(a\circ a=a\),

folglich \(a=e\) (das Einselement von G).