Gruppen Homomorphismus zeigen

Question

Text erkannt:

Sei \( \varphi: G \rightarrow H \) ein (Gruppen)Homomorphismus. Zeigen Sie, dass
\( \varphi\left(g^{-1}\right)=\varphi(g)^{-1} \text { für } g \in G \)

Kann wer diese Aufgabe lösen?

mit freundlichen Grüßen

vlad

Answer 1

\( \varphi\left(g^{-1}\right)=\varphi(g)^{-1} \text { für } g \in G \)

Überlege, was \(  \varphi(g)^{-1}  \) bedeutet:

Das ist das inverse Element von \(  \varphi(g) \)

Es muss also das Produkt der beiden das neutrale Element

von H ergeben, also rechne nach \(  \varphi(g) \cdot \varphi\left(g^{-1}\right)\)

wegen der Hom-Eigenschaft ist das

\(  = \varphi(g\cdot g^{-1}) =  \varphi(e_{G})  = e_H\)

oder so:

https://www.mathelounge.de/858415/gruppen-homomorphismus-zeigen-sie-dass-g-1-g-1-fur-g-g