Aufgabe:
Soll folgendes zeigen
$$1. \text{Ist } \operatorname{Pr}[\varphi \leftrightarrow \psi]=1 \text{ so gilt } \operatorname{Pr}[\varphi]=\operatorname{Pr}[\psi]$$
$$2. \text{Ist } \operatorname{Pr}[\varphi \rightarrow \psi]=1, \text{ so gilt } \operatorname{Pr}[\varphi] \leq \operatorname{Pr}[\psi]$$
$$3. \text{ Für alle } \varepsilon>0 \text{ Folgt aus } Pr[\varphi \rightarrow \psi] \geq 1-\varepsilon, \operatorname{Pr}[\varphi] \leq \operatorname{Pr}[\psi]+\varepsilon$$
$$4. \text{ In keinen der Fällen gilt die Umkehrung. (Für den 3. Fall heißt dies, }$$
$$\text{ dasseine Verteilung, Formeln und ein } \varepsilon>0 \text{ existiert mit } Pr[\varphi] \leq Pr[\psi]+\varepsilon \text { aber } Pr[\varphi \rightarrow \psi]<1-\varepsilon $$
Problem/Ansatz:
Komme da gerade zu nichts für 2. habe ich folgendes
$$P[\varphi \rightarrow \psi]=1 \equiv P[\neg \varphi \vee \psi]=1$$
$$\equiv P[\neg \varphi]+P[\psi]-P[\neg \varphi \wedge \psi]=1$$
$$\equiv 1-P[\varphi]+P[\psi]-P[\neg \varphi \wedge \psi]=1$$
$$\equiv P[\psi]-P[\neg \varphi \wedge \psi]=P[\varphi]$$
$$\Longrightarrow P[\varphi] \leq P[\psi]$$
Sollte korrekt sein, oder?
Nun komme ich bei 3 nicht voran, hänge an folgender Gleichung fest
$$P[\varphi \rightarrow \psi] \geq 1- \epsilon \equiv P[\neg \varphi \vee \psi] \geq 1 - \epsilon$$
$$\equiv P[\neg \varphi]+P[\psi]-P[\neg \varphi \wedge \psi] \geq 1- \epsilon $$
$$\equiv 1-P[\varphi]+P[\psi]-P[\neg \varphi \wedge \psi] \geq 1 - \epsilon $$
$$\equiv P[\psi]-P[\neg \varphi \wedge \psi] \geq - \epsilon + P[\varphi]$$
$$\equiv P[\psi] + \epsilon \geq P[\varphi] + P[\neg \varphi \wedge \psi]$$
Daraus kann ich ja nicht die Forderung ableiten, dass $$P[\varphi] \geq P[\psi] + \epsilon$$ gilt
