Mir war sie unbekannt und ich habe es mal versucht mit etwas Unterstützung von https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Um es nicht unnötig zu verkomplizieren habe ich a=1 gesetzt.
Ich komme aber immer nur auf die Lösung \(x=-2\), die Zweite geht mir irgendwo unterwegs verloren... irgendein Rat wo?
Das wollte ich fragen, bis ich fast alles eingetippt hatte und dann meinen Fehler selbstgefunden habe (beim Wurzelziehen im komplexen einen Onlinerechner benutzt und in das gerundete irrationale Ergebnis eine Periode reininterpretiert, die es nicht gab...). Da ich es jetzt aber schon eingetippt habe poste ich es trotzdem :)
(ganz unten kommt trotzdem noch eine Frage)
$$\begin{aligned}x^3&=(w-\frac{p}{3w})^3\\ &= w^3-3w^2\frac{p}{3w}+3w\left(\frac{p}{3w}\right)^2-\left(\frac{p}{3w}\right)^3\\ &=w^3-3w\frac{p}{3w}\left(w-\frac{p}{3w}\right)-\left(\frac{p}{3w}\right)^3\\ x^3&=-px -\left(\frac{p}{3w}\right)^3+w^3\\ \end{aligned}$$
Koeffizientenvergleich mit der Ausgangsgleichung:
\(x^3=3x-2\)
liefert
\(p=-3\)
und (mit p gleich eingesetzt)
\(\frac{1}{w^3}+w^3=-2\).
Substitution mit \(z= w^3\), umformen, mit pq lösen:
$$z^2+2z+1=0 \implies z_{1/2}=-1$$
Resubstitution und inkl. komplexer Lösungen berechnen:
$$w^3=-1\\ \implies w_1=-1; \quad w_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;\quad w_3=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$
p und w einsetzen in die anfängliche Substitution \(x=w-\frac{p}{3w}\) liefert:
\(x_1=-2;\quad x_{2/3}=1\)
Funktioniert das mit der Substitution für jede kubische Gleichung ohne quadratische Komponente oder müssen irgendwelche extra Vorraussetzungen gegeben sein?
