Der Ansatz $$ \frac{dx}{dt} = k (c_a^0 - x) = -k (x -c_a^0) $$ führt zu
$$ \frac{dx}{ x -c_a^0} = -k dt $$ Integration ergibt
$$ \ln(x-c_a^0) = -kt + \ln(C) $$ daraus ergibt sch
$$ x(t) = c_a^0 + C e^{-k t} $$
Sollte jetzt \( x(0) = 0 \) gelten, folgt
$$ x(0) = 0 = c_a^0 + C $$ also \( C = -c_a^0 \) und damit
$$ x(t) = c_a^0 ( 1 - e^{-kt} ) $$
D.h. die Anfangskonzentration beträgt \( x(0) = 0 \) und konvergiert für \( t \to \infty \) gegen \( c_a^0 \) von unten.
Sollte die Anfangskonzentration aber wirklich \( x(0) = c_a^0 \) sein, folgt
$$ x(0) = c_a^0 = c_a^0 + C $$ also \( C = 0 \)
und damit ist die Lösung $$ x(t) = C $$ also eine Konstante.
Welche Anfangsbedingungen gelten sollen, musst Du aus der Aufgabenstellung ermitteln.
Die Konstante \( C \) in Deiner Lösung ist übrigens falsch gewählt. Denn aus $$ -\ln(c_a^0 - x) = -kt + \ln(c_a^0) $$ folgt, wenn \( x(0) = 0 \) gilt
$$ -\ln(c_a^0) = \ln(c_a^0) $$ und das ist nur richtig für \( c_a^0 = 1 \)
