lim x -> 0 1/(cos(x)-1)-1/x Grenzwert berechnen mit L'Hospital

Question

Hallo Community,

Wie ihr im Titel lesen könnt bekomme ich es bisher nicht hin, den Grenzwert dieses Terms auszurechnen.

Ich war bisher so weit:

Term auf den Gleichen Hauptnenner gebracht:

 Resultat -> x/((cos(x)-1)*x) - (cos(x) -1)/((cos(x)-1)*x)

Nach ableiten mit der Produktregel im Nenner komme ich auf folgendes:

1 - (-sin(x)) / ((cos(x)-1) + (-sin(x))*x

Jetzt komme ich aber nicht weiter, da dort 1/0 rauskommt, und ich brauche den Gesamtterm im Format 0/0, ich habe auch gelesen, dass 1/0 unendlich darstellt, was ich auch verstehe, jedoch komme ich damit doch  auf kein valides Ergebnis?

Comments

Man braucht hier den Marquis de L’Hospital nicht, und auch die Produktregel ist entbehrlich.

Answer 1

lim (x → 0) 1/(COS(x) - 1) - 1/x

= lim (x → 0) (COS(x) - x - 1)/(x - x·COS(x))

L'Hospital da ein Ausdruck 0/0 vorliegt

= lim (x → 0) (- SIN(x) - 1)/(1 - COS(x) + x·SIN(x)) = -∞

Answer 2

ich brauche den Gesamtterm im Format 0/0

Nein, brauchst du nicht.

Damit

        lim_x→x0f(x)/g(x) = lim_x→x0f'(x)/g'(x)

ist, genügt es, dass in einer punktierten Umgebung von x₀

• die Funktionen f und g differenzierbar sind,
• g'(x) ≠ 0 ist

und lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 g(x) = 0 ist.

Diese Bedingungen sind in deiner Aufgabe erfüllt.