Aloha :)
Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 eintritt, also die erste Kugel rot ist, beträgt:
$$P(E1)=P(r,beliebig)=\frac{4}{13}\cdot\frac{12}{12}=\frac{4}{13}$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass E2 eintritt, also die zweite Kugel grün ist, beträgt:
$$P(E2)=P(gg)+P(rg)+P(bg)=\frac{6}{13}\cdot\frac{5}{12}+\frac{4}{13}\cdot\frac{6}{12}+\frac{3}{13}\cdot\frac{6}{12}=\frac{72}{156}=\frac{6}{13}$$
Bemerkenswert ist der Fall \(P(gg)\). Darin gibt es im ersten Zug \(6\) grüne von insgesamt \(13\) Kugeln und im zweiten Zug \(5\) grüne von den verbliebenen \(12\) Kugeln. Daher die zusammengesetze Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{13}\cdot\frac{5}{12}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 und E2 gemeinsam eintreten, also die erste Kugel rot und die zweite Kugel grün ist, beträgt:$$P(E1\cap E2)=\frac{4}{13}\cdot\frac{6}{12}=\frac{24}{156}=\frac{2}{13}$$Wenn \(E1\) und \(E2\) voneinander unabhängig sind, muss gelten: \(P(E1\cap E2)=P(E1)\cdot P(E2)\). Wir prüfen nach:
$$\frac{2}{13}\stackrel{?}{=}\frac{4}{13}\cdot\frac{72}{156}=\frac{9}{64}\quad\text{Widerspruch!}$$Die beiden Ereignisse E1 und E2 sind also nicht unabhängig voneinander.
