Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind!

Question

In einer Urne liegen 4 rote, 6 grüne und 3 blaue Kugeln. Es wird zweimal gezogen, die Kugeln werden nach dem Ziehen nicht wieder zurückgelegt. Das Ereignis E1 bedeutet: Die erste Kugel ist rot. Das Ereignis E2 bedeutet: Die zweite Kugel ist grün. Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind!

P(E2) = 4/13 ∙ 6/12 + 6/13 ∙ 5/12+ 3/13 ∙ 6/12 = 72/156

Ich verstehe hier nicht weshalb man zuerst 5/12 nimmt und dann wieder 6/12, da der wert doch abnimmt? kann mir dies jemand erklären? den rest konnte ich lösen.

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 eintritt, also die erste Kugel rot ist, beträgt:

$$P(E1)=P(r,beliebig)=\frac{4}{13}\cdot\frac{12}{12}=\frac{4}{13}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass E2 eintritt, also die zweite Kugel grün ist, beträgt:

$$P(E2)=P(gg)+P(rg)+P(bg)=\frac{6}{13}\cdot\frac{5}{12}+\frac{4}{13}\cdot\frac{6}{12}+\frac{3}{13}\cdot\frac{6}{12}=\frac{72}{156}=\frac{6}{13}$$

Bemerkenswert ist der Fall $P(gg)$. Darin gibt es im ersten Zug $6$ grüne von insgesamt $13$ Kugeln und im zweiten Zug $5$ grüne von den verbliebenen $12$ Kugeln. Daher die zusammengesetze Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{13}\cdot\frac{5}{12}$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass E1 und E2 gemeinsam eintreten, also die erste Kugel rot und die zweite Kugel grün ist, beträgt:$$P(E1\cap E2)=\frac{4}{13}\cdot\frac{6}{12}=\frac{24}{156}=\frac{2}{13}$$Wenn $E1$ und $E2$ voneinander unabhängig sind, muss gelten: $P(E1\cap E2)=P(E1)\cdot P(E2)$. Wir prüfen nach:

$$\frac{2}{13}\stackrel{?}{=}\frac{4}{13}\cdot\frac{72}{156}=\frac{9}{64}\quad\text{Widerspruch!}$$Die beiden Ereignisse E1 und E2 sind also nicht unabhängig voneinander.

Answer 2

Die zweite Kugel ist grün.

... wird in folgenden drei Fällen erfüllt:

erst rot, dann grün

erst grün, dann nochmal grün

erst blau, dann grün

Die Wahrscheinlichkeiten dieser drei Fälle wurden in dieser Reihenfolge einzeln berechnet und dann addiert.

Answer 3

Der 2. Summand ist p(grün, grün)

Wenn die erste Kugel grün war (p=6/13) ist die WKT, dass die 2. grün ist, noch 5/12, weil nicht zurückgelegt wird.

P(E2) = P(rg)+P(gg)+P(bg)