Exponentialfunktion in e-Funktion

Question

Hallo, wenn ich eine Exp funktion in eine e wandeln mlchtd gehe ich folgender maßen vor:

f(x) = 2^x  = e^ln(2) ×x

Warum eigentlich?

Mir würde eine Herleitung helfen.

Answer 1

Aloha :)

Die Exponential-Funktion \(e^x\) und die Logarithmus-Funktion \(\ln(x)\) sind Umkehrfunktionen zueinander, das heißt:$$x=e^{\ln(x)}$$Wenn du an Stelle von \(x\) nun eine Potenzfunktion \(a^x\) einsetzt, bekommst du:$$a^x=e^{\ln(a^x)}$$Nach dem 5-ten Logarithmusgesetz gilt \(\ln(a^x)=x\cdot\ln(a)\), sodass schließlich gilt:$$a^x=e^{x\cdot\ln(a)}$$

Answer 2

2^x = e^(ln2^x) = e^(x*ln2)

Das kannst du sicher ableiten.

e^(f(x)) wird abgeleitet zu e^(f(x))* f '(x)

Answer 3

2 kannst du schreiben als e^{ln(2)} oder ln(e^2)

Ist das klar warum?

Also ist

2^x = (e^{ln(2)})^x = e^{ln(2)·x}

Comments

Ne nicht gabz wie kommst du drauf?

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die e-Funktion und die ln-Funktionen sind umkehrfunktionen zueinander. So ähnlich wie die Wurzelfunktion und die Quadratfunktion in gewissen Bereichen Umkehrfunktionen sind daher gilt auch

2 = √(2^2) = 2 = 2^{√2}

Answer 4

Hier meine Umformungen

Answer 5

Es gilt nach den Potenzregeln: $$ \textrm{e}^{\ln(2) \cdot x} = \left(\textrm{e}^{\ln(2)}\right)^x = 2^x $$