Question

Berechnen Sie die Matrix-Exponentialfunktion \( e^{A t} \)
 \( A=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right) \),

Comments

Ein alternativer Vorschlag: Zerlege die Matrix A wie folgt in die Summe aus einer nilpotenten Matrix und einer Diagonalmatrix:
\(A=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}\).

Answer 1

Aus

\( A=\left(\begin{array}{rr}-3 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right) \)
Ahoch2 \( =\left(\begin{array}{rr}8 & -4 \\ 4 & 0\end{array}\right) \)
Ahoch3 \( =\left(\begin{array}{rr}-20 & 12 \\ -12 & 4\end{array}\right) \)
Ahoch4 \( =\left(\begin{array}{lr}48 & -32 \\ 32 & -16\end{array}\right) \)
Ahoch5 \( =\left(\begin{array}{ll}-112 & 80 \\ -80 & 48\end{array}\right) \)

Folgere ich die Bildungsvorschrift \( A^n=\left(\begin{array}{rr}(-1)^n2^{n-1} \cdot(n+2)& (-1)^{n-1}\cdot{2^{n-1}} \cdot n\\ (-1)^{n}\cdot 2^{n-1} \cdot n & (-1)^n\cdot (n-1)\cdot 2^{n-3} \end{array}\right) \)

Verwende das für die Potenzreihe von \(e^{At}\).