e-funktion mit zwei e termen, ableiten und nullstellen berechnen

Question

habe ein Problem. Unzwar ist die funktion f(x)=e^{2x}-4e^{x}-8 = 0 gegeben. Diese will ich Ableiten und nach 0 Auflösen. Wenn ich es nach 0 auflösen will komme ich auf folgendes :

e^{2x}-4e^{x}-8 = 0  | -4e^{x}

e^{2x}-8 = -4e^{x}  | ln(...)

2x - ln(8) = ln (4) + x  | + ln (8)

2x = ln(4) + ln(8) + x  | -x

x = ln(4) + ln(8)

Das ergebnis ist jedoch laut meinem Taschentechner nicht richtig. Verstehe nicht was ich Falsch gemacht habe. Könnt ihr mir vielleicht nocheinmal erklären wie ich die Nullstellen berechne und die Ableitung von dieser Funktion weiss ich auch nicht. Würde es folgendermaßen ableiten :

f(x)= e^{2x}-4e^{x}-8

f'(x)= 2e^{2x}-4e^{x}

Verstehe aber jetzt nicht ob es richtig ist was ich bezweifle

Comments

Hier stecken eine Menge Fehler

e^2x-8 = -4e^x  | ln(...)

2x - ln(8) = ln (4) + x

Richtig
ln ( e^2x - 8 ) = ln(-4) + x

Auf diesem Weg wärst du aber eh nicht zu einer
Lösung gekommen.

mfg Georg

Answer 1

e^2x - 4e^x - 8 = 0
(e^x)² - 4e^x - 8 = 0

Substituiere e^x = u:

u² - 4u - 8 = 0

Damit kommst du auf:

$$ u=2+2\sqrt{3},\:u=2-2\sqrt{3} $$

Rücksubstitution:

$$ e^x = 2+2\sqrt{3},\:e^x=2-2\sqrt{3} $$

Nullstellen:

$$ \:x=\ln \left(2+2\sqrt{3}\right) $$

Deine Ableitung ist richtig.

Comments

Und die Ableitung ist richtig ?

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Deine Ableitung ist richtig.

Answer 2

Deine Ableitung ist richtig.