Bringt es mich weiter zu überprüfen, ob die Funktion differenzierbar ist?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass es ein x ∈ [0, 1] so gibt, dass
\( \sqrt{x + e^(-x) }  \)  = 2x ist.

Problem/Ansatz:

Als erstes: wie gebe ich e hoch -x richtig ein hier?

Ich weiß nicht so wirklich wie man hier vorgehen soll.

Ich habe versucht durch Umformungen das x zu isolieren.
Zuerst habe ich quadriert, um den Bruch wegzubekommen und dann das x auf die rechte Seite geholt

e^(-x) = 2x² - x Dann habe ich auf beide Seiten den natürlichen Logarithmus angwendet.

-x = ln( 2x² -x)

Nur bringt mich das ja nicht wirklich weiter.

Bringt es mich weiter zu überprüfen, ob die Funktion differenzierbar ist?

Hatte auch überlegt es mit dem Zwischenwertsatz zu beweisen, aber ich bin mir nicht sicher welche Werte ich nehmen soll dafür.

Das waren alle meine (unstrukturierten) Überlegungen dazu, sitze schon echt einige Zeit daran.

Vielen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Bringt es mich weiter zu überprüfen, ob die Funktion differenzierbar ist?

Nein. Die Terme sind im Bereich [0; 1] definiert und stetig und brauchen dort nicht differenzierbar sein.

√(x + e^(-x)) = 2·x

Wir fragen wo die Differenz gleich null wird.

d(x) = √(x + e^(-x)) - 2·x = 0

Jetzt gilt

d(0) = 1
d(1) = -0.8304

Mit dem Zwischenwertsatz muss es also eine Stelle geben, an der die Differenz Null wird. Damit ist es gezeigt.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Auf diesen "Trick" wäre ich so nie gekommen, habe es aber auch noch nie gesehen. Im Nachhinein natürlich sehr logisch.

Danke

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Wenn das eine aktuelle Übung ist, dann sollte der Zwischenwertsatz in der letzten Vorlesung vorgekommen sein. Wichtig ist du sollst hier ja nicht die Stelle x bestimmen, sondern nur beweisen, dass es eine gibt und dort wäre der Zwischenwertsatz meiner Meinung nach die erste Wahl.

Answer 2

Beweisen Sie, dass es ein x ∈ [0, 1] so gibt, dass\( \sqrt{x + e^(-x) }  \)  = 2x ist.

Als erstes: wie gebe ich e hoch -x richtig ein hier?

Schau mal in der grauen Leiste unter \( \sqrt[4]{x} \) nach:

Potenz: \( e^{-x} \)

\( \sqrt{x+e^{-x} }=2x \)