Folge an konvergiert zu a. Beh: Mittelwert der ersten n Folgenglieder konvergiert auch gegen a.

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge, die gegen ein \( a \in \mathbb{R} \) kovergiere. Beweisen Sie, dass dann die Folge \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch
$$ b_{n}:=\frac{1}{n}\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) \quad \forall n \in \mathbb{N} $$
ebenfalls gegen \( a \) konvergiert.

Answer 1

Hi,

ich bin die Sache mal so angegangen:

 

Für a_n→a

∃n₀ ∀n>n₀  |a_n - a|<ε        ⇒ a-ε<an<a+ε

dann existiert für die Folge b_n:=(a₁+a₂+...+a_n)/n

ein m>n für das dann gilt (a₁+a₂+...a_n+a_n+1+a_n+2+...+a_m)/m

⇒ (a₁₊a₂ +...+a_n)/m + (m-n)(a-ε)/m<b_n<(a₁+a₂+...+a_n)/m+(m-n)(a+ε)/m

Für m →∞ hat man dann a-ε<b_n<a+ε