Getränkedose: Maße, damit man bei gleichen Volumen möglichst wenig Aluminium benötigt.

Question

Aufgabe:

Nehmen Sie eine metallische Getränkedose. Messen Sie ihren Durchmesser und ihre Höhe und berechnen anschließend das Volumen der Dose.

Durchmesser ist hier 5cm und Höhe 14,5cm

1. Bestimmen Sie, welche Maße eine Dose haben muss, damit man bei gleichen Volumen möglichst wenig Aluminium benötigt.

2.Geben Sie die verschiedenen Lösungswege an. Vergleichen und bewerten Sie ihre Lösungswege.


3.Verallgemeinern Sie: Welche Abmessungen hat bei vorgegebenem Volumen eine beliebige Dose mit geringsten Materialverbrauch?

Ergänzung von Furkan:

Problem/Ansatz:

V= π*r^{2}*h = π*2,75^{2}*14 = 332,61 cm^{3}

Wie mache ich weiter und kann die oben genannten Fragen lösen?

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Diese Frage kam heute schon mal. Hatte 3 Teilaufgaben.

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@Furkan: Habe nun deine Ergänzung in die Fragestellung integriert.

Vermute aber, dass du mit den bereits vorhandenen Antworten alles hast, was du brauchst. Oder? Wenn nein, was genau fehlt dir noch?

Answer 1

Volumen = Grundfläche (Kreis) mal Höhe

Kreisfläche = π r²

Das Volumen ist also 90,625 π

Oberfläche (Alu) = Mantelfläche + 2 mal Kreisfläche

Mantelfläche = Höhe mal Umfang

Umfang = 2 π r

d.h. Oberfläche = h 2 π r + 2 π r² zu minimieren unter Nebenbedingung π r² h = 90,625 π ⇔ h = 90,625 / r²

d.h. Oberfläche = 90,625 / r² 2 π r + 2 π r² zu minimieren für r > 0

r ≈ 3,56511

allgemeiner Fall: Oberfläche = 2 V/r + 2 π r² zu minimieren, ergibt r = \( \sqrt[3]{\frac{V}{2 π}} \)

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Hey könntest du mir das auf ein Blatt erläutern damit ich das besser verstehe mit den Zeichen und bitte meine Zahlen dazu nehmen, weil ich verstehe nicht woher die 90 jetzt genau kommen und wie man fort führt. Wäre echt dankbar dafür

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Die 90,625 π (dritte Zeile) kommen so, wie in den beiden Zeilen davor erläutert. Der Radius r Deiner Dose ist ja 2,5 cm.

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ich verstehe nicht woher die 90 jetzt genau kommen

Das Volumen \(V\) eines Zylinders ist \(V=r^2 h \pi\), wenn \(r\) der Radius der Grundfläche und \(h\) die Höhe des Zylinders ist. Mit \(h=14.5\text{cm}\) und \(r=d/2=5 \text{cm}/2\) erhält man:$$V = \left( \frac 52\text{cm}\right)^2 \cdot 14,5 \text{cm} \cdot \pi = \frac {725}{8} \pi \text{cm}^3 = 90,625 \pi \, \text{cm}^3$$

Answer 2

Z.B. über Lagrange oder klassisch durch geschicktes Einsetzen der Volumengleichung in die Oberflächenformel; siehe hier: https://www.mathelounge.de/677396/minimale-oberflache-eine-zylinders

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tut mir leid aber das hilft mir nicht

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Hilft mir leider nicht