Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen bei einem Karton

Question

Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen
Oberfläche von 100 cm ein möglichst großes Volumen besitzen. Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden? Zeigen Sie, dass es keine weiteren Maxima gibt.

Habe jetzt die Hauptbedingung augestellt $$V= a^2 \cdot h$$

Die Nebenbedingung habe ich auch aufgestellt: $$ a^2+4ah =100 $$

Und jetzt habe ich nach \(h\) umgeformt $$h=\frac{100-a^2}{4a}$$

Und dann habe ich das in die Hauptbedingung eingesetzt um die Zielfunktion herauszukriegen.$$ V(a)= a^2 \cdot \frac{100-a^2}{4a}$$

Jetzt weiß ich nicht weiter, muss ich hier ausmultiplizieren?

Answer 1

Und jetzt habe ich nach h umgeformt h=100-a²/4a

Du hast Klammern vergessen. Korrekt ist

        h = (100-a²)/(4a)

V(a)= a² x (100-a²/4a)

Auch hier.

        V(a) = a² · (100-a²)/(4a).

muss ich hier ausmultiplizieren

Nein. Du musst den Hochpunkt von V finden.

Das macht man indem man die Nullstelle der Ableitung bestimmt.

Dazu benötigt man die Ableitung.

Bevor man die Ableitung bestimmt, ist es sinnvoll (aber nicht notwendig), den Funktionsterm zu vereinfachen:

        V(a) = a² · (100-a²)/(4a) = a · (100-a²)/4 = (100a - a³)/4 = 25a - 1/4·a³.

Natürlich kann man auch direkt die Produktregel

        f(x) = g(x)·h(x) ⇒ f'(x) = g'(x)·h(x) + h'(x)·g(x)

verwenden, um die Ableitung von V zu bestimmen. Die kennt man aber normalerweisse noch nicht, wenn Extremwertprobleme in der Schule besprochen werden. Außerdem ist die Produktregel unhandlich.

Answer 2

Und jetzt habe ich nach h umgeformt
h=100-a2/4a

besser
h=(100-a^2)/(4a)

V(a)= a^2 * (100-a^2)/(4a) )
V( a ) = 100 * a / 4  - a^4 /(4a)
V( a ) = 25 * a - a^3 /4

V´ ( a ) = 25 - 3/4 a^2

25 - 3/4 a^2 = 0
3/4 *a^2 = 25
a^2 = 100/3
a = 5.77

Den Rest kannst du ?