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Aufgabe: Extremwertprobleme

U:400

Max. Fläche des Rechtecks




Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man die Gleichungen bei der zielfunktion von einem extremprolem Aufgabe kürzt

Bild:

 blob.jpeg


 https://m.youtube.com/watch?v=AF9vyMzpTzU&list=PLLTAHuUj-zHjsLCshuAb…

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Nebenbedingung

U = 2·a + 2·pi·r --> a = 0.5·U - pi·r

Hier darf man schon erkennen das es etwas günstiger ist nach a aufzulösen, weil man dann ohne einen Bruch bei dem man durch pi teilt auskommt.

Hauptbedingung

A = a·2·r = (0.5·U - pi·r)·2·r = U·r - 2·pi·r2

Ableiten und Null setzen für Extremstellen

A' = U - 4·pi·r = 0 --> r = U/(4·pi)

Noch a bestimmen

a = 0.5·U - pi·(U/(4·pi)) = 0.25·U

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Vielen dank für die schnelle Antwort!

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r = 4002a2π \frac{400-2a}{2π} Schon hier kann man kürzen:

r = 200aπ \frac{200-a}{π}

Dann ist A(a)=a·2·200aπ \frac{200-a}{π}

Hier den konstanten Faktor 2π \frac{2}{π} ausklammern:

A(a)=2π \frac{2}{π} ·(200a-a2)

A'(a)=2π \frac{2}{π} (200-2a)

Nullstelle a=100

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Für U gilt:

2rπ+2a=400    r=(200a)/π 2r\pi + 2a = 400 \iff r = (200-a)/\pi

Für A gilt:

A=2ra=2/pia(200a) A = 2ra = 2/pi *a*(200-a)

Die Funktion A(a) ist quadratisch und hat Nullstellen bei 0 und 200, ein Maximum dann bei 100.

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