f(x,y) = (x-y^2)(x-2y^2). Zeige, zu jedem e > 0 existiert z im Ball mit Radius e um 0 mit f(z)<f(0)

Question

Hallo Leute,

wollte nun auch mal die Chance nutzen hier eine Frage zu stellen, die Uni hat noch nicht wieder offen . Also worum gehts:

Wie oben beschrieben, habe ich die Funktion f(x,y) = (x-y²)(x-2y²). f(0) ergibt somit 0. Nun soll ich zeigen, dass es in jeder ε-Umgebung der Null einen Punkt z gibt, sodass f(z)<0. Graphisch lässt sich dies auch leicht verifizieren nur ist es mir nicht gelungen, es auch für ein allgemeines epsilon zu zeigen. 

Ich dachte mir, ich überlege mir einfach für ein ε > 0, wie man dann einen Punkt in der Umgebung findet (z.b sowas wie p= (0,ε/2)) für den dann gilt f(p)<0. Nur ist es mir bis jetzt nicht gelungen einen solchen Punkt zu finden 
Meine Überlegungen waren bis jetzt, dass auf jedem x > y² und x< 2y² sein sollte, damit später was negatives rauskommt. Doch wie pack ich das in eine Anforderung an ein ε?

Weiß jemand weiter?

Liebe Grüße

Webmaster

Comments

Wie meinst du f(0)=0? Du hast doch zwei Variablen, meinst du f(0,0)? Das ist nicht definiert.

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Ja genau, meinte f(0,0), tut mir leid, das war einfach unsere Kurzschreibweise, aber du hast recht, das sieht so ein wenig unklar aus. Aber was meinst du mit nicht definiert? f(0,0) = (0-0²)(0-2*0²)=0.

Sehe da kein Problem.

LG

Answer 1

Probiere doch mal

P =  (   (3/32)*ε^2   ;  (1/4)ε )

Dann ist f( (3/32)*ε^2   ;  (1/4)ε   )  < 0

und P ist in der ε-Umgebung von (0;0).

Die Idee war:  Nimm x = 1,5y^2 , dann ist jedenfalls

f(x,y) negativ und dann soweit verkleinern, dass es in der

Umgebung ist.

Comments

Jawohl, das funktioniert! Hab vielen Dank! Ein schönes Wochenende wünsche ich dir noch.

LG Webmaster