Es existiert ein ε>0 mit f(x) > 1/4*f(y) für alle x∈ R, mit |x-y| < ε.

Question

Aufgabe:

Es sei f: R--> R stetig und es sei y ∈ R, mit f(y) > 0. Zu zeigen: Es existiert ein ε>0 mit f(x) > 1/4*f(y) für alle x∈ R, mit |x-y| < ε.

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee dazu? Mache grade Altklausuren und bin hier hängen geblieben.

Comments

Um auf die Standard-Bezeichnungen zu kommen, nenne das \(\epsilon\) in der Aufgabenstellung \(\delta\).

Schreibe die Standard epsilon-delta-Definition für Stetigkeit im Punkt y auf.

Schreibe diese Definition dann auf, indem Du konkret \(\epsilon=\frac{3}{4} f(y)\)

Schreibe die Ungleichung \(|f(y)-f(x)|<\epsilon\) um - im Hinblick auf die Aufgabenstellung.

Fertig

Answer 1

Im Kommentar steht doch schon alles:

f stetig bei y∈ℝ ==>  zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0 für das gilt:
                                       |x-y| <δ ==> |f(x)-f(y)|<ε .

Da f(y)>0 ist, ist auch f(y) / 2 > 0 und wenn man dieses als ε

wählt, also ε = f(y) / 2 , dann gibt es ein δ mit

       |x-y| <δ ==> |f(x)-f(y)|<  f(y) / 2

                   ==>    -f(y) / 2  <  f(x) - f(y)  <   f(y) / 2          | +f(y)

                  ==>      f(y)/2    <  f(x)    <   3f/y)/2

Und der erste Teil dieser Kette besagt also   f(y)/2    <  f(x)

und weil f(y)/4 < f(y)/2 gilt auch    f(y)/2    <  f(x)  für alle x mit       |x-y| <δ.

Dieses δ ist also das in der Aufgabe gesuchte ε.