Richtig gekürzter Bruch liefert anderes Ergebnis als ungekürzt hä

Question

Ich soll folgende Ungleichung lösen:

(-0,5*x)/(50-0,5*x) < -1

Das Ergebnis hiervon ist: x > 50

Jetzt hab ich gesehen, dass man ja auch davor noch den Bruch hätte kürzen können (mit -0,5 gekürzt: x/(x-100) ).

Dies liefert aber x < 50 als Ergebnis (ist falsch! das weiß ich).

1. Frage: Wie kann es sein, dass dieser richtig gekürzte Bruch ein untersch. Ergebnis liefert?

2. Frage: Gibt es eine Regel, die besagt, dass man nicht kürzen darf o.Ä.?

Answer 1

(-0,5*x)/(50-0,5*x) < -1
...
x/(x-100) < -1     Kürzen ist ok!

Wenn du mit (x-100) multiplizierst, musst du unterscheiden, ob x-100 positiv oder negativ ist.

1) x-100>0 → x>100 → x<-1·(x-100) → x<-x+100 → 2x<100 → x<50

Die roten Relationen widersprechen sich.

2) x-100<0 → x<100 → x>-1·(x-100) → x>-x+100 → 2x>100 --> x>50

Die grünen Relationen liefern 50<x<100.

https://www.desmos.com/calculator/s5tg37plu5

Comments

Besten Dank!!!

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Gerne. Ein erfolgreiches Restjahr wünsch ich dir.

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Vielen Dank. Wünsche ich dir auch!

Answer 2

Für Ungleichungen gilt:

Multiplikation bzw. Division mit einer negativen Zahl dreht das Relationszeichen um.

Comments

JA genau, aber erstmal habe ich den Bruch nur als Term (ohne das <-1) gegeben. Wenn ich hier schon kürze (kürzen heißt ja nicht, dass man jetzt einen anderen Wert vom Bruch hat) oder auch in der Ungleichung, hat das doch keine Auswirkung aufs Ungleichheitszeichen.

Bsp.: (-x)/(-y) gekürzt (Nenner und Zähler mit -1 gekürzt:) x/y ist beides das gleiche und würde keine Auswirkung aufs Ungleichheitszeichen haben

Deshalb versteh ich das NICHT hilfe