Durch Umformungen der Gleichung f(x) = y die Umkehrfunktionen der folgenden Bijektionen bestimmen

Question

I. f: ℝ→ℝ, x ↦ f(x):=sinh(x)

II.  f: [1,∞)→(0,\( \frac{1}{2} \) ], x ↦ f(x):= \( \frac{x}{1+x^2} \)

III.  f: [0,1]→[0,1],  x ↦ f(x):=\( \sqrt{1 − x^2} \)

Die Definitions- und Zielbereiche sind bereits so gewählt, dass die Funktionen invertierbar sind.

Answer 1

Hallo,

sinh(x):= 1/2(e^x-e^(-x))

y=1/2(e^x-e^(-x))

Bestimmung der Umkehrfunktion:

Variablentausch:

x=1/2(e^y-e^(-y))

Nach y auflösen:

2x*e^y=e^(2y)-1

Substitution e^y=z

2x*z=z^2-1 => z=sqrt(x^2+1)+x (die andere Lösung genügt nicht dem Definitionsbereich)

Resubstitution:

e^y=sqrt(x^2+1)+x

f^(-1)(x):=y=ln(sqrt(x^2+1))+x)

Die anderen folgen dem gleichen Schema, nur nicht mit so hohem Aufwand.

Answer 2

II.

$$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$$

$$y=\frac{x}{1+x^2}$$

$$ y\cdot(1+x^2)=x  $$

$$ y+yx^2-x=0  \qquad |:y ; y\ne 0 $$

$$ x^2-\frac{1}{y}\cdot x+1=0 $$

$$ x_{1;2}=\frac{1}{2y}\pm\sqrt{\frac{1}{4y^2}-1}$$

Variablen tauschen:

$$ y=\frac{1}{2x}+\sqrt{\frac{1}{4x^2}-1}$$

Das Minuszeichen fällt wegen der vorgegebenen Definitions- und Wertebereiche weg.

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II. grün,   III. blau

https://www.desmos.com/calculator/4i7fm3pinl