Berührpunkt und Gleichung dieser Tangente bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich bräuchte einmal eure Hilfe....

Und zwar:

Eine Tangente an den Graphen von f mit f(x)=x^3 , xE(0,2) soll durch den Punkt P (2/4) gehen. Bestimmen Sie den Berührpunkt und die Gleichung dieser Tangente!

Problem/Ansatz:

Leider bin ich total überfordert. Kann mir jemand bitte genau erklären, wie ich vorgehen muss. Wäre Super.

Danke schon mal im voraus

Comments

Der Punkt (2|4) liegt nicht auf f(x)=x³ .

Was soll f mit f(x)=x³ , xE(0,2) bedeuten?

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Hallo, die Aufgabe steht ja oben.

x€[0;2]

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Dein € ersetzt jetzt dein E und soll wohl ∈ heißen?

Der Punkt (2|4) liegt immer noch nicht auf f(x)=x³.  

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Es geht ja auch um die Tangente‍♂️

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Der Punkt (2|4) liegt immer noch nicht auf f(x)=x³. 

Muss er auch nicht. Die Tangente soll trotzdem durch diesen Punkt verlaufen. Wo die Tangente den Graphen von f berührt, gehört ebenfalls zur Aufgabenstellung.

Answer 1

die Gleichung dieser Tangente!

Die Tangente hat zwei wesentliche Eigenschaften:

(1)        Sie hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion.

(2)        Sie hat dort wo sie angelegt wird den gleichen Funktionswert wie die Funktion.

Diese zwei Egenschaften werden als Gleichungen formuliert und das daraus resultierende Gleichungssystem gelöst.

Die Tangente ist eine lineare Funktion, hat also eine Funktionsgleichung der Form

(3)        t(x) = mx + b.

Bestimmen Sie den Berührpunkt

Kennen wir nicht. Deshalb legen wir eine Varaible für die x-Koordinate des Berührpunktes fest: x₀.

durch den Punkt P (2/4) gehen

Einsetzen in (3) liefert

(4)        4 = m·2 + b.

Bedingung (1) liefert außerdem

        t'(x₀) = f'(x₀)

und somit

(5)        m = 3·x₀².

Bedingung (2) liefert

        t(x₀) = f(x₀)

und somit

(6)        m·x₀ + b = x₀³.

Löse das Gleichungssystem aus den Gleichungen (4), (5) und (6).

Answer 2

Definition Tangente
f ( x ) = t ( x )  | Koordinaten gleich
f ´( x ) = t ´ ( x ) | Steigung gleich

f ( x ) = x^3
t ( x ) = m * x + b

f ( x ) = x^3
f ´( x ) = 3*x^2

( 2 | 4 )
Der Winkel des Steigungsdreiecks ist der Winkel
des Berührpunkts
tan ( alpha ) = [ f ( x ) - 4 ] / ( x - 2 ) = f ´( x )
( x^3 - 4 ) / ( x - 2 ) = 3 * x^2
x = 1
f ( 1 ) = 1^3 = 1
B ( 1 | 1 )

m = f ´( x ) = 3* x^2 = 3 * 1^2 = 3
y = m * x + b
4 = 3 * 2 + b
b = -2
t ( x ) = 3 * x - 2

Comments

Wie kommt man auf x=1?

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Löse die Gleichung

[ f ( x ) - 4 ] / ( x - 2 ) = f ´( x )
( x^3 - 4 ) / ( x - 2 ) = 3 * x^2

Beim Lösen von Gleichungen kann Photomath helfen.

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Aber dort kommen 3 x werte raus

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Genau allerdings sollte gelten

x ∈ (0, 2)

Und wie viele dieser drei Werte sind in dem Bereich von 0 bis 2?

Answer 3

Der Berührpunkt sei (u|u³). Dann erfüllt (wegen P (2/4)) u die Gleichung 3u²=\( \frac{4-u^{3}}{2-u} \) . Dies ist eine Bestimmungsgleichung für u mit der rationalen Lösung u=1.

Berührpunkt ist (1|1). 

Answer 4

f(x) = x^3

(f(x) - 4)/(x - 2) = f'(x) --> x = 1 - √3 ∨ x = 1 + √3 ∨ x = 1

f(1) = 1 → B(1 | 1)

Jetzt kann man noch die Tangente bestimmen

t(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = 3·x - 2

Skizze

~plot~ x^3;3*x-2;[[-4|4|-3|3]] ~plot~