Abbildungsmatrix einer Polynomableitungsfunktion

Question

Aufgabe:

folgendes Problem,

Ich habe einen Vektorraum Vn:=span(1,t,...,t^n) teilmenge von R[t] mit Basis Bn:={1,...,t^n}.

Die Abbildung f:Vn->Vn-1 leitet einfach normale Polynome ab.
zb: a0+a1t+a2t^2....ant^n wird auf a1+2a2t+...+nant^n-1 abgebildet.Wobei die zahl hinter a die nummerierung darstellen soll und n aus den Natürlihen Zahlen.

Jetzt soll ich dazu die Matrix Mbn,bn-1 bestimmen.

Wenn f:V→W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit Basen v1,…,vm und w1,…,wn ist, dann gibt es Koeffizienten aij, i=1,…,n, j=1,…,m, so dass
f(vj)=∑ni=1aijwi.

Die aij bilden ja die Einträge der Abbildungsmatrix.

die ersten wären ja:

f(1)= 0, 1*0+0*1+...+o*nt^n-1

bis hinzu f(t^n)=nt^n-1,  0*0+0*1+...+1*nt^n-1

Das würde dann doch die Matrix bilden welche in der Hauptdiagonalen nur einsen hätte oder nicht?

Mfg

Answer 1

Die Spalten der Abbildungsmatrix enthalten die Koordinaten der Bilder

der Basisvektoren

f(1) = 0 , also 1. Spalte lauter 0en

f(t)=1 also 2. Spalte  oben 1 der rest 0en

f(t^2) = 2t also 3. Spalte

0
2
0
….
0

f(t^3) = 3t^2 also 4. Spalte

0
0
3
0
....
0

etc..Etwa so :

0   1   0   0  0 .....   0
0   0   2   0  0 .....   0
0   0   0   3  0         0

............................

0  0    0  ............   n

 

Comments

Auch dir danke

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aber müsste das in den diagonalen nicht einsen sein da das ja nur linearkombinationen sind wo man das Bild des Basisvektors als Linearkombinationen von den Bildbasisvektoren schreibt?

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nein, die Abl von t^n ist doch n*t^(n-1) also ist vor

dem (n-1)-ten Basisvektor der Faktor n.

Und die letzte 0-Zeile bei mit ist falsch, weil ja im

Zielraum eine Dimension weniger ist.

Korrigiere ich.

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Ja genau der faktor davor ist zwar n aber ich brauch das doch 1 mal weil das ja einmal vorkommt in der ableitung.

Zb das t^3 abgeleitet ist ja 3t^2 und als Linearkombination der Bildbasisvektoren ist ja 0*0+0*1+0*t+0*2t+1*3t^2 und diese 1 dachte ich wäre dann aus der Formel für die Abbildungsmatrix das aij welche die Einträge der Matrix wären.

Oder hab ich da nen dreher?

Mfg

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Aber 3t^2 ist ja kein Basisvektor, sondern t^2. Also ist der

Faktor 3 in dem Koordinatenvektor.

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Ich dachte ich leite die Basisvektoren auch normal ab und nehme dann die für die Linearkombination.

Aber wenn nicht, ja dann macht das auch sinn^^

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Die Basis ist aber ja gegeben:

Vn:=span(1,t,...,tn) teilmenge von R[t] mit Basis Bn:={1,...,tn}.

heißt ja zugleich

Vn-1:=span(1,t,...,tn-1) teilmenge von R[t] mit Basis Bn-1:={1,...,tn-1}.

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Also erhalte ich eine nx(n+1) Matrix, richrig?

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Genau so ist es!

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Vielen dank für die Geduld und die Hilfe.

Mfg

Answer 2

f(tⁿ)=nt^n-1

Stimmt soweit.

Koordinatenvektor von tⁿ bezüglich B_n ist \(\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}\).

Koordinatenvektor von n·t^n-1 bezüglich B_n-1 ist \(\begin{pmatrix} 0\\\vdots\\0\\n \end{pmatrix}\), hat aber eine Zeile weniger als der Koordinaatenvektor von tⁿ.

Comments

Ja genau, vertippt.

Koordinatenvektor von t^{n} bezüglich Bn ist klar.

Aber warum ist bei nt^{n-1} am ende n und danach noch eine 0?

In der Abbildungsmatrix sollen doch nur zahlen stehen und warum noch eine zeile mit 0?

und wenn dem so wäre hätte ich dann eine nx(n+1) Matrix und was muss bei n hin?

Mfg

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Aber warum ist bei nt^n-1 am ende n

Wegen des Faktors n in dem Term nt^n-1.

und danach noch eine 0?

Weil der Exponent in nt^n-1 nicht n ist, sondern n-1.

In der letzten Zeile des Koordintenvektors steht der Koeffizienten von tⁿ. Weil tⁿ in der Ableitung nicht mehr vorkommt, steht dort eine 0.

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Ok, alles klar, vielen Dank für die Hilfreiche Antwort.

Mfg

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Die Abbildung f:V_n->V_n-1

Das habe ich überlesen und bin stattdessen von einer Abbildung V_n→V_n ausgegangen.

Für die Abbildung V_n→V_n-1 steht das n tatsächlich in der letzten Zeile. Dafür haben alle Bildvektoren nur n-1 Zeilen und alle Urbildvektoren n Zeilen.

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Also hab ich solch eine Abbildungsmatrix?

1 0 0 ...0 0 0 0 0 0

0 1 0 ...0

.

.

.

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 n

oder?

Also mit 8 Zeilen und 9 Spalten

Weil der Kollege unter mir hat ja in den diagonalen nicht einsen stehen, das hat mich jetzt verwirrt

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Nehmen wir mal ein konkretes Beispiel: n = 5.

Koordinatenvektor von t³ ist

\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \),

weil

t³ = 0·1 + 0·t + 0·t² + 1·t³ + 0·t⁴ + 0·t⁵.

Ableitung von t³ ist 3t². Koordinatenvektor davon ist

\( \begin{pmatrix} 0\\0\\3\\0\\0 \end{pmatrix} \),

weil

3t² = 0·1 + 0·t + 3·t² + 0·t³ + 0·t⁴.

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Aber ich schreibe doch die Linearkombination von den Bild Basisvektoren und das sind ja die Urbildbasisvektoren oder nicht?

Dann ist die Matrix von mathef doch richtig auch mit der ersten Nullzeile?