Aufgabe von Endomorphismen

Question

Aufgabe Lineare Abbildungen, Endomorphismen:

Sei \( K \) ein Körper und \( F: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus des \( K \) -Vektorraums \( V \)

a) Sei \( v \in V, \) sodass für eine natürliche Zahl \( n \) gilt: $$ \text { (1) } \quad F^{i}(v) \neq 0, \text { für } i=1, \ldots, n \quad \text { und } \quad F^{n+1}(v)=0 $$ wobei \( F^{i}(v)=F(F(\ldots(F(v)) \ldots)) \) das \( i \) -malige Anwenden der Abbildung \( F \) auf den Vektor \( v \) bedeutet.

Beweisen Sie, dass dann die Vektoren \( v, F(v), \ldots, F^{n}(v) \) linear unabhängig sind.

b) \( \operatorname{Sei} \operatorname{dim}(V)=m<\infty \) vorausgesetzt. Beweisen Sie, dass dann für jedes \( v \in V \) ein \( n \in \mathbb{N} \) existiert, sodass die Vektoren \( v, F(v), \ldots, F^{n}(v) \) linear abhängig sind.

Wir haben keinen Lösungsansatz und wir kommen nicht weiter.

Answer 1

a) Sei \( (a_0,...,a_n) \in K^{n+1} \) mit \( a_0v + a_1F(v) +\dotsm + a_nF^n(v) = 0 \) $$ \begin{aligned} \implies 0 = F^{n}(0) &= F^{n}(a_0v + a_1F(v) +\dotsm + a_nF^n(v)) \\ &= a_0F^n(v) + a_1F^{n+1}(v)+\dotsm+a_nF^{2n}(v)\\&= a_0F^n(v) \end{aligned} \\\implies a_0 = 0 \implies a_1 F(v) + \dotsm + a_nF^n(v) = 0  $$ Jetzt \( 0 = F^{n-1}(0) \) usw.  Insgsamt folgt \( a_0 = \dotsm = a_n = 0 \), d.h. das System ist linear unabhängig.

b) Für \( v = 0 \) ist das System für alle \(n\) linear abhängig. Für \( v \neq 0 \) wähle \( n = m \). Da \( \dim V = m \) ist ein System aus \( m+1 \) Vektoren immer linear abhängig, insb. also auch \( (v,F(v),...,F^m(v) ) \). Was ist der Sinn dieser Aufgabe?

Comments

Hi EmNero,

wohin verschwindet bei dir in der zweiten Zeile die:

a_1*F^(n+1)(v)+...+a_n*F^(2n)(v) ?

MfG

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Ich habs verstanden Entschuldigung! :)