Funktionsterm mit Wendetangente ermitteln

Question

Aufgabe:

Der Graph einer zu y-Achse symmetrischen Polynomfunktion f 4. Grades hat einen Wendepunkt W(-2/y) mit der Wendetangente t: 4x - 3y = -8. Ermitteln Sie den Funktionsterm f(x)!

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich voran? Kann mir bitte wer helfen...

Answer 1

Da W auf der Wendetangente liegt ist W = (-2 ; 0 ) .

Ansatz wegen Symmetrie  f(x) = ax^4 + bx^2 + c

und es gilt    f(-2)=0

                     f ' ' (-2) = 0

und            f ' (-2) = 4/3 = Steigung der Wendetangente.

Damit berechne a,b,c.

Comments

Wieso brauche ich f'(-2) = 4/3 bzw. wie komme ich auf 4/3? Dankeschön :)

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Wenn  du die Tangentengleichung 4x - 3y = -8   nach y umstellst, erhältst du

y=(4/3)x+8/3

Die Tangente ist also eine Gerade mit dem Anstieg 4/3.

Answer 2

Wegen der Symmetrie zur y-Achse hat die Funktion die einfachere Form

f(x)=ax⁴+cx²+e.

Berechne aus der Wendetangente f(-2) und  f'(-2) und beachte, dass f''(-2)= 0 gilt.

Comments

Dankeschön!!

Answer 3

Der Graph einer zu y-Achse symmetrischen Polynomfunktion f 4. Grades

f ( x ) = a * x^4 + b * x^2 + c
f ´( x ) = 4a * x^3 + 2b * x
f ´´ ( x ) = 12a * x^2 + 2b

hat einen Wendepunkt W(-2/y)
f ´´ ( -2)  = 0

mit der Wendetangente t: 4x - 3y = -8.
3y = 4x - 8
y = ( 4x + 8 ) / 3
y = 4/3 * x + 8/3
y = 4/3 * (-2) + 8/3 = 0
m = 4/3

Koordinaten und Steigung von Funktion
und Tangente sind im Berührpunkt gleich
f ( -2 ) = 0
f ´ ( -2 ) = 4/3
und
f ´´ ( -2)  = 0

Einsetzen
f ( -2 ) = a * (-2)^4 + b * (-2)^2 + c = 0
f ´( -2 ) = 4a * (-2)^3 + 2b * (-2) = 4/3
f ´´ ( -2 ) = 12a * (-2)^2 + 2b = 0

lineares Gleichungssystem lösen.
Ermitteln Sie den Funktionsterm f(x)

Comments

Vielen Dank!!

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Gern geschehen.