Aloha :)
$$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}: x\mapsto 2x+4$$
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wir nehmen an, es gebe 2 Werte \(a,b\) aus der Quellmenge \(\mathbb{Z}\), die dasselbe Bild haben. Für diese gilt dann:$$f(a)=f(b)\;\;\Rightarrow\;\;2a+4=2b+4\;\;\Rightarrow\;\;a=b$$Wenn \(f(a)=f(b)\) ist, muss auch \(a=b\) sein. Mit anderen Worten, es gbit keine 2 verschiedenen Elemente aus der Qullmenge, die dasselbe Bild haben. Jedes Element der Zielmenge wird daher höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist injektiv.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Wir nehmen also ein beliebiges \(y\) aus der Zielmenge \(\mathbb{Z}\) und prüfen, ob wir ein passendes \(x\) aus der Quellmenge \(\mathbb{Z}\) finden, das auf \(y\) abbildet.$$y=2x+4\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\frac{y-4}{2}$$Oha, für \(y=1\) wäre \(x=-1,5\not\in\mathbb{Z}\). Das Element \(1\) aus der Zielmenge kann also niemals erreicht werden. Die Funktion ist nicht surjektiv.
Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal erreicht wird. Die Funktion muss dann also injektiv und surjektiv zugleich sein. Diese Funktion hier ist nicht surjektiv und daher auch nicht bijektiv.
