Bilde die erste Ableitung der folgenden Funktionen und vereinfache soweit möglich

Question

ich muss zu den folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung bilden:

1.) \( f(x)=(a x-1)^{*}\left(x^{2}+5 x+6\right) \)

2.) \( f(x)=\frac{x}{e^{\frac{1}{2} x^{2}}} \)

3.) \( f(x)=\frac{\sqrt{\left(x^{2}-1\right) *(x+1)}}{x+1} \)

Meine Lösungen:

1.) \( f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+10 a x-2 x+6 a-5 \)

Mit Hilfe der Produktregel abgeleitet!

2.) Bisher keine Lösung!

3.) \( f^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{\frac{3}{2} x^{2}+x-\frac{1}{2}}}{(x+1)}-\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}-x-1}}{(x+1)^{2}} \)

Mit Hilfe der Quotientenregel abgeleitet.

Stimmen meine Lösungen?

Answer 1

Hallo Fifo,

 

Aufgabe 1) Deine Lösung ist richtig:

f(x) = (ax - 1) * (x² + 5x + 6)

u = ax - 1 | u' = a

v = x² + 5x + 6 | v' = 2x + 5

u'v + uv'

f'(x) = a * (x² + 5x + 6) + (ax - 1) * (2x + 5) =

ax² +5ax + 6a + 2ax² + 5ax - 2x - 5 =

3ax² + 10ax - 2x + 6a - 5

 

Aufgabe 2)

f(x) = x / e^{1/2*x^2}

u = x | u' = 1

v = e^{1/2 * x^2} | v' = x * e^{1/2 * x^2} | v² = e^{x^2}

(u'v - uv') / v²

f'(x) = (e^{1/2 * x^2} - x² * e^{1/2 * x^2}) / e^{x^2} =

[ e^{1/2 * x^2} * (1 - x²) ] / e^{x^2} =

e^{-1/2 * x^2} * (1 - x²)

Das kann man vielleicht noch vereinfachen :-)

 

Aufgabe 3)

Hier habe ich den Term kürzen können und komme auf eine wesentlich übersichtliche Lösung - sofern ich mich nicht verrechnet habe :-)

f(x) = √[(x² - 1) * (x + 1)] / (x + 1) | 3. Binomische Formel angewandt

√[(x + 1) * (x - 1) * (x + 1)] / (x + 1) =

[ √(x - 1) * √(x + 1)² ] / (x + 1) =

[ √(x - 1) * (x + 1) ] / (x + 1) =

√(x - 1) =

(x - 1)^1/2

 

f'(x) = 1/2 * (x - 1)^-1/2 * 1 = 1 / [ 2 * √(x - 1) ]

 

Besten Gruß