In welchen Punkten ist die Funktion stetig?

Question

Aufgabe:

Bei folgender Funktion soll gezeigt werden in welchen Punkten sie stetig ist.

f : ℝ\{1,-1} -> ℝ

mit

f(x)  = x³ - 1 (für x < -2)

f(x) = 1 / (x² - 1) (für x ≥ -2)

Problem/Ansatz:

Sei (x_n)_n∈ℕ ⊂ ℝ\{1,-1} mit lim x_n = x₀

Ich hab das ganze jetzt in Fälle unterteilt.

Sei x₀ ≥ -2

Fall 1: x_n < -2

lim f(x_n) = lim x_n -1 = lim x_n³ + lim -1 = x_n³ - 1 = x - 1 ≠ f(x₀)

Fall 2 : x_n ≥ -2

lim f(x_n) = lim 1 / (x_n² - 1) = lim 1 / (lim x_n²  + lim 1) = 1 / x₀² - 1 =  f(x₀)

Sei x₀ < -2

Fall 1: x_n < -2

lim f(x_n) = lim x_n³ - 1 = x₀³ - 1 = f(x₀)

Fall 2: x_n ≥ -2

lim f(x_n) = lim 1 / (x_n³-1) = lim 1 / (lim x_n² + lim -1) = 1 / (x₀²-1 ≠ x₀ - 1 = f(x₀)

Da jetzt bei x₀ ≥ -2 und x₀ < -2 jeweils nur einer der Fälle Gleicheit gilt, gibt es an keinem Punkt Stetigkeit.

Ist das richtig so?

Answer 1

f(x)  = x^3 - 1 (für x < -2)
f(x) = 1 / (x^2 - 1) (für x ≥ -2)

kritische Punkte gilt es zu untersuchen
An der Nahtstelle der Teil-Funktionen
lim x -> -2 (-) [ x^3 - 1 ] = -8 - 1 = -9
x -> -2 [ 1 / (x^2 - 1) ] = 1 / 3
Nicht stetig

Polstellen
f(x) = 1 / (x^2 - 1)
x = 1
und
x = -1
Divison durch 0
Die beiden Stellen sind nicht definiert
wurden aber aus dem Def-Bereich
herausgenommen.

Nicht steitg ist die Funktion an der Nahtstelle

Comments

Danke für deine Antwort, aber was ist denn eine Nahstelle?

Über google hab ich leider nichts gefunden.

---

In diesem Falle ist \(x=-2\) die Nahtstelle. Leider kommt bei diesem Beispiel die Motivation dieser Bezeichnung nicht so gut, deswegen habe ich mal ein anderes Beispiel konstruiert:

das ist der Graph der Funktion \(f(x)=\begin{cases}x^2-4 , \quad \quad \,\, \, \, x<2 \\ -(x-2)^2, \quad  x\geq 2\end{cases}\). Du siehst, dass in \((0,2)\) die Funktion, bestehend aus den zwei Komponentenfunktionen dort "zusammengeschweißt" wird.

Der Begriff "Nahtstelle" stammt aus der Technik und bedeutet:

Stelle, an der sich eine Schweißnaht befindet

Ich habe den Begriff auch erstmalig hier gehört, finde ihn aber sehr treffend und nutze ihn seither.

---

Hallo Wurzel,
Nahtstelle habe ich auch im Forum zum ersten
Mal gehört.
Ich habe damit die Verbindung zweier Stoffe
assoziiert ( Nähnaht ).

---

In einem Lehrbuch las ich mal "Klebestelle" — schneidet auf jeden Fall schlechter ab als "Nahtstelle" i. m. A.

---

Man kann auch " Übergangsstelle zwischen den
Teilfunktionen " sagen.