Aufgabe:
Bei folgender Funktion soll gezeigt werden in welchen Punkten sie stetig ist.
f : ℝ\{1,-1} -> ℝ
mit
f(x) = x³ - 1 (für x < -2)
f(x) = 1 / (x2 - 1) (für x ≥ -2)
Problem/Ansatz:
Sei (xn)n∈ℕ ⊂ ℝ\{1,-1} mit lim xn = x0
Ich hab das ganze jetzt in Fälle unterteilt.
Sei x0 ≥ -2
Fall 1: xn < -2
lim f(xn) = lim xn -1 = lim xn3 + lim -1 = xn3 - 1 = x - 1 ≠ f(x0)
Fall 2 : xn ≥ -2
lim f(xn) = lim 1 / (xn2 - 1) = lim 1 / (lim xn2 + lim 1) = 1 / x02 - 1 = f(x0)
Sei x0 < -2
Fall 1: xn < -2
lim f(xn) = lim xn3 - 1 = x03 - 1 = f(x0)
Fall 2: xn ≥ -2
lim f(xn) = lim 1 / (xn3-1) = lim 1 / (lim xn2 + lim -1) = 1 / (x02-1 ≠ x0 - 1 = f(x0)
Da jetzt bei x0 ≥ -2 und x0 < -2 jeweils nur einer der Fälle Gleicheit gilt, gibt es an keinem Punkt Stetigkeit.
Ist das richtig so?
