Orthonormalbasis in U <v1,v2,v3> bestimmmen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren
~v1 = (1, 1, −1, 2)^T
~v2 = (1, −1, 1, 2)^T
~v3 = (2, 1, 1, 4)^T
~w = (1, 2, 1, 1)^T
.
a) Bestimmen Sie eine ON-Basis in U =<v1,v2,v3 > mit dem Schmidt-Verfahren.
b) Berechnen Sie die senkrechte Projektion von w auf U.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich vorgehen muss.

Answer 1

a) v1 bleibt.

Von v2 ziehst du einen Anteil von v1 ab, so dass der neu entstehende Vektor orthogonal zu v1 ist. Der Anteil ist gerade der Projektionsvektor von v2 auf v1.

usw.

Die "Formel" steht in

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

Dann normierst du die neuen Vektoren auf die Länge 1 und hast eine Orthonormalbasis.

b) Dann suchst du einen 4. Vektor v4, der auf den 3 der ON-Basis senkrecht steht, also den Unterraum zu ℝ⁴ ergänzt.

Dazu bestimmst du "die orthogonale Projektion von w auf U", nämlich den Vektor u mit w=u+v4